Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

 

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости получается решением системы уравнений движения Эйлера. Для этого умножаем их соответственно на dx, dy, dz и складываем друг с другом. В результате получаем

. (3.8)

В уравнении (3.8) при установившемся движении

, , .

Слагаемые правой части уравнения (3.8) могут быть представлены в виде:

; ; .

Следовательно, получаем

, (3.9)

где υ – скорость, составляющие которой вдоль соответствующих осей координат равны υ_х, υ_у, υ_{z .}

Многочлен во второй скобке уравнения (3.8) его левой части представляет собой полный дифференциал давления dp. С учетом этого, уравнение (3.8) имеет вид:

. (3.10)

Если рассматривать равновесие покоящейся жидкости и координатную ось направить по вертикали вверх, то получим

, (3.11)

т. к. Х = 0, Y=0, Z=-g – ускорению силы тяжести.

Выносим дифференциал за скобки, умножаем на (-1) и делим на g. После чего уравнение (3.11) принимает следующий вид:

. (3.12)

Интегрирование уравнения (3.12) дает

, (3.13)

или для двух сечений струйки

. (3.14)

Таблица 3.1

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли

 

Величина	Геометрический смысл	Энергетический смысл
z	Геометрическая (нивелирная) высота.	Удельная потенциальная энергия положения.
	Пьезометрический напор.	Удельная потенциальная энергия давления.
	Скоростной напор.	Удельная кинетическая энергия.
	Гидростатический напор.	Удельная потенциальная энергия точки.
	Гидродинамический напор.	Полная энергия точки.

 

Геометрический смысл уравнения Бернулли состоит в том, что при установившемся движении идеальной жидкости, сумма статических и скоростных напоров, равных гидродинамическому напору, не изменяется при переходе от одного поперечного сечения к другому.

Из энергетического смысла уравнения Бернулли следует, что при установившемся движении идеальной жидкости, сумма удельной потенциальной и удельной кинетической энергий жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неизменной. Следовательно, при движении идеальной жидкости, количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода.

Таким образом, уравнение Бернулли, являетсячастным случаем закона сохранения и превращения энергии и выражает энергетический баланс потока.

 

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ

Уравнение Бернулли для невязкой жидкости представляет собой закон сохранения энергии потока: напор в любом первом сечении всегда равен напору в любом последующем сечении (Н₁=Н₂).

В потоке реальной жидкости действуют силы инерции, давления, тяжести и кроме того силы внутреннего трения, зависящие от вязкости жидкости и характера ее движения. Также, в потоке существуют силы трения жидкости о стенки трубопровода. Указанные силы трения оказывают сопротивления движению жидкости, на преодоление которых расходуется некоторая часть энергии потока. Следовательно, общее количество энергии жидкости будет непрерывно уменьшаться по длине канала вследствие перехода части потенциальной энергии жидкости в потерянную (тепловую) энергию (Н₁ > Н₂) или (Н₁ – Н₂=∑ h_пот, где∑ h_пот – суммарные потери напора на преодоление всех сопротивлений).

Соответственно, уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости записывается в виде:

. (3.15)

Распространение уравнения Бернулли, выделенного для отдельной струйки на целые потоки, рассматриваемые как совокупность множества струек, затрудняет неравномерность распределения скоростей по живому сечению потока, наличие поперечных составляющих продольной скорости в живых сечениях и влияние центробежных сил. В соответствии с этим необходимо установить характеристику потоков, на которые можно распространять уравнение Бернулли, и предложить способ учета неравномерности распределения скоростей в живых сечениях. Это достигается путем установления поправочного коэффициента, которым является коэффициент Кориолиса.

Коэффициент Кориолиса (α) равен отношению кинетической энергии, определенной по мгновенным скоростям, к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости, и учитывает неравномерность распределения скоростей по живому сечению потока.

Коэффициент Кориолиса определяется опытным путем и зависит от режима течения жидкости. Его значения находятся в интервале от 1 до 1,1.

Тогда уравнение Д. Бернулли, с учетом коэффициента Кориолиса, для целого потока вязкой жидкости получает вид

. (3.16)

Правила выбора сечений

1. Нулевое сечение (плоскость сравнения) «00», обычно совмещают с осью трубопровода, отверстия или насадка.

2. Сечения 1 и 2 проводятся перпендикулярно к вектору скорости или перпендикулярно к потоку жидкости и назначаются по ходу движения жидкости.

3. Сечение 1-1 выбирается таким образом, чтобы все составляющие члены уравнения Бернулли были известны (обычно совпадает с поверхностью жидкости в баке, резервуаре или водоеме).

4. Сечение 2-2 обычно выбирают на выходе из трубопровода, насадка или отверстия.

5. Величины давлений входящих в левую и правую части уравнения Бернулли должны находиться в одной системе отсчета (система абсолютного, избыточного или вакуумного давлений).

 

ДИАГРАММЫ БЕРНУЛЛИ

 

Приведем пример использования уравнения Бернулли на примерах потоков идеальной и реальной жидкостей, движущихся через трубопровод.

Выберем два поперечных сечения 1-1 и 2-2 (рис. 3.5). Установим в центрах тяжести сечений 1-1 и 2-2 две вертикальные открытые с обеих сторон трубки.

Прямые трубки называются пьезометрическими; в них жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому давлению в точках погружения, т.е. эти приборы измеряют пьезометрические напоры и
.

Рис 3.5

В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку (трубках Пито), уровень жидкости будет выше, чем в пьезометрических, т.к. трубки Пито показывают сумму пьезометрических и скоростных напоров и .

Линия Е-Е проведенная по горизонту жидкости в трубках Пито называется напорной линией (линией гидродинамического напора). Для идеальных жидкостей она всегда горизонтальна. Для реальных жидкостей напорная линия всегда идет по нисходящей.

Линия Р-Р называется пьезометрической линией. Для идеальных и реальных жидкостей пьезометрическая линия может быть горизонтальной или иметь уклон как вверх по направлению движения жидкости, так и вниз (в зависимости от изменения площади живого сечения потока).

Фигура, ограниченная пьезометрической линией и плоскостью сравнения «00», представляет собой эпюру изменения статического напора вдоль потока. Фигура, заключенная между напорной и пьезометрической линиями характеризует изменение скоростного напора вдоль потока.