Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости

Принцип д’Аламбера: для перехода от равновесия к движению необходимо и достаточно к действительным силам прибавить силы инерции. Проекция силы инерции на ось ОХ: , причем dM = r × dx × dy × dz; отнесенная к единице площади: ;

Подставляя в уравнение Эйлера получим совокупные дифференциальные уравнения движения жидкости:

Сумма трех уравнений даст дифференциальное уравнение движения жидкости под действием произвольных внешних сил:

Уравнение неразрывности движения для элементарной струйки и потока жидкости

1. Объемы жидкости, прошедшие через сечения в единицу времени, равны элементарным расходам: dQ₁ = u₁dw₁ и dQ₂ = u₂dw₂, так как объем струйки постоянный, то dQ₁ = dQ₂, а значит: u₁dw₁ = u₂dw₂ - уравнение неразрывности движения для элементарной струйки.

2. Для потока, как для совокупности элементарных струек: v₁w₁ = v₂w₂ - уравнение неразрывности движения для потока жидкости. Отношение средних скоростей в живых сечениях потока обратно пропорционально отношению их площадей.

3. Если u_x - скорость в первом сечении, то - скорость во втором сечении. Масса жидкости, которая пройдет через первое сечение за время dt: r × u_x × dy × dz × dt, через второе: Исходя из закона сохранение масс: , аналогично для движения по осям y и z, получим: - уравнение неразрывности движения для произвольного движения несжимаемой жидкости.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки

Так как: , то для идеальной жидкости, рассматривая два сечения получаем: .

Энергетический смысл: при u=0 - - основное уравнение гидростатики, так как - удельная энергия давления, а z - удельная энергия положения, то - удельная кинетическая энергия. .

Геометрический смысл: - пьезометрический напор, z - напор положения, - скоростной напор.

Для вязкой жидкости: , где hw_1-2 - затраты на преодоление сопротивлений между 1 и 2 сечениями - потеря напора.

Лемма о распределении гидродинамического давления в плавно изменяющемся движении

При плавно изменяющемся движении u_y = u_z = 0, тогда:

в плоскости живого сечения гидродинамическое давление распределяется по гидростатическому закону, то есть сохраняется условие: .

Уравнение Бернулли для потоков вязкой и невязкой жидкостей

Для элементарной струйки в потоке жидкости уравнение Бернулли имеет вид: , так как для потока: e_к = av²/2g, где a» 1.1 - опытный коэффициент кинетической энергии, то: - основное уравнение гидродинамики. Уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью движения, давлением и геометрическим расположением точек живого сечения потока.