Багатопроменева інтерференція

 

a). Інтерференція N когерентних хвиль із послідовним зсувом фаз на величину d і рівними за величиною амплітудами (нехай амплітуда є А₁) може бути розрахована графічно на фазовій площині, де коливання представляються амплітудними векторами із певними початковими фазами. Їх сума визначається за правилом багатокутника, який утворюється розміщенням початку послідуючого вектора у вершині попереднього. Результуюча амплітуда А є вектор, проведений із початку першого вектора у кінець останнього (див.Мал.145). Вектори А _і, як показано на малюнку, є частиною правильного багатокутника (число його сторін дорівнює ). З малюнка видно, що

,

де a = 2p - Nd, а з прямокутного трикутника ОFB бічна сторона

.

Приймаючи, що

,

одержимо величину результуючої амплітуди А у вигляді

(1)

або інтенсивність

, (2)

де І₁ ~ A₁² ¾ інтенсивність окремої хвилі. Головні максимуми інтерференції спостерігаються в тих точках, де кути d = 0 або вони кратні 2p. Для цих випадків вектори амплітуд лежать на одній прямій і модуль їх суми буде максимальний. Таким чином умова максимуму має вигляд

d = ± 2np, (3)

де n = 0,1,2,3,.... ¾ порядок максимумів. Амплітуда та інтенсивність коливань у головних максимумах дорівнюють

А = NA₁, I = N²I₁. (4)

Інтерференційні мінімуми (А = 0) спостерігаються в точках де

d = ±2рp/N, (5)

число р приймає будь-які цілі значення, крім тих, які кратні N. Між парою сусідніх мінімумів знаходиться головний або побічний максимум. При великому числі інтерферуючих хвиль інтенсивність побічного максимуму мізерно мала порівняно з інтенсивністю головного максимуму. На Мал.146 представлено графік інтенсивності інтерференції двох та трьох хвиль у залежності від .

b). Якщо число інтерференційних хвиль необмежено збільшувати, а їх амплітуди А₁ та зсуви фази зменшувати так, щоб величини N×A₁ та N×d залишались обмеженими й рівними А₀ та Dj, відповідно, то векторна діаграма прийме вигляд, показаний на Мал.147. Послідовність векторів перетвориться в дугу кола А₀, а її кутова величина стане рівною Dj. Радіус кола . Амплітуда результуючого коливання

,

або

. (6)

Умови мінімумів інтерференції можна задати рівнянням

(m = 1,2,3,...). (7)

При , А = А₀ ¾ центральний максимум. На Мал.148 представлена залежність відносної величини інтенсивності інтерференції від зсуву фази . З точки зору величини результуючої інтенсивності актуальним є розгляд випадків коли близьке до 0.

 

Інтерферометр Майкельсона

 

Інтерферометр Майкельсона, принципова схема якого показана на Мал.149, використовується для точних вимірювань показника заломлення світла газів та їх залежності від температури, тиску й вологості. Світло від джерела S падає під кутом на плоскопаралельну скляну пластинку , задня стінка якої посріблена. Частина світла від неї відбивається (промінь 1) до дзеркала . Далі промінь 1 відбивається від і частково проходить через до лінзи Л (промінь 1'), а частково проходить у вертикальному напрямкові (промінь 2) до пластинки і далі до дзеркала . Цей промінь відбивається від і повертається до пластинки , двічі проходячи через неї. Від посріблення пластинки промінь 2 частково відбивається в напрямкові 2' до лінзи Л. Хвилі 1' та 2' когерентні і результат інтерференції залежить від різниці оптичного ходу. Завдяки пластинці їх шлях у склі однаковий, тому називають компенсатором.

Різниця оптичного ходу

,

де ¾ відстані від точки О до дзеркал та , ¾ показник заломлення повітря. Якщо , то спостерігається максимум інтерференції. Переміщення одного із дзеркал на відстань призводить до появи мінімуму. Таким чином по зміні інтерференційної картиниможна оцінити малі переміщення одного із дзеркал. Якщо замість пластин використовувати кювети ¾ порожнинні скляні ємності за формою паралелепіпеда, заповнені повітрям або іншим газом чи рідиною, то можна вимірювати їх показники заломлення у залежності, наприклад, від температури, від тиску та інше. Зміна показника заломлення світла розраховується за зміною інтерференційної картини. Похибки вимірювання показника заломлення світла за допомогою інтерферометра Майкельсона становить .

 

Голографія

У 1948 році Д.Габор запропонував голографічний метод одержання зображень предметів. Голографія є метод одержання просторових зображень (голограми) предметів шляхом фотографічного запису результатів інтерференції двох когерентних лазерних пучків світла. Для одержання голограми лазерне випромінювання поділяють на два пучки 1 ¾ опорний і 2 ¾ сигнальний (предметний), що розсіюється об'ємною поверхнею деякого предмета (див.Мал.150). Після зведення пучка 1 і розсіяного пучка 2' на фотопластинці, остання зафіксує просторову картину їх інтерференції. Після проявлення фотопластинки одержимо голограму ¾ узор із малих областей різного роду почорніння фотоемульсії, який не має ніякої схожості з предметом. Голограма фіксує амплітудні й фазові співвідношення у розсіяному від предмета світлі, які визначаються взаємним просторовим розташуванням частин предмета.

Відтворення зображення предмета з голограми відбувається шляхом освітлення її таким же опорним пучком світла, як і при записі голограми.

Якщо товщина фотоплівки мала, то голограму називають двовимірною і зображення предмета можна спостерігати не тільки при освітленні опорним лазерним пучком, а й світлом, наприклад, ртутної лампи. Однак освітлення голограми опорним світлом дає повне і якісне зображення предмета.

При утворенні голограми на фотопластинці (див.Мал.151), усі її ділянки освітлюються розсіяним випромінюванням від усіх частин предмета, а тому кожна частинка голограми містить усю інформацію про предмет і усі разом вони дають чітке зображення предмета. Чим менша частинка голограми використовується ти менш чітким буде образ предмета.

При відтворенні образу предмета він створюється як відбитим так і випромінюванням, що пройшло голограму. Відбита хвиля створює уявне зображення, а та, що пройшла створює дійсне зображення.

Використання як опорного та сигнального лазерного випромінювання трьох основних кольорів (червоний, зелений, синій) дає змогу одержати кольорову об'ємну голограму у прозорій фотоплівці товщиною ~ 15¾20 мкм. Випромінювання від лазерів S проходить через пластинку й фотоплівку, розсіюється предметом і повертається у шар фотоемульсії, де інтерферує з падаючим випромінюванням. Відновлення кольорового зображення можливе у звичайному білому світлі.

У 1962 році Ю.М.Денисюк вперше одержав об'ємну голограму у товстій фотоемульсійній плівці. Такі голограми подібні до просторових дифракційних решіток. Відтворення зображень предметів з таких голограм можливо у білому світлі.

Голографія відкриває широкі перспективи у створенні великих систем пам'яті обчислювальних машин, систем інформаційного пошуку, систем розпізнавання образів і, нарешті, у створенні систем стереоскопічного кольорового кіно та телебачення.

 

Дифракція

 

Явище відхилення світла від прямолінійного розповсюдження в середовищі з різко вираженими оптичними неоднорідностями називається дифракцією. До згаданих явищ відносять огинання світлом макроперешкод, проходження через отвори та інше. В результаті в геометричній тіні спостерігаються освітлені та затемнені області. Розрізнюють дифракцію сферичних хвиль – дифракція Френеля та дифракцію плоских хвиль – дифракція Фраунгофера.

 

Принцип Гюйгенса-Френеля

 

Положення хвильового фронту у будь-який момент часу можна визначити за принципом Гюйгенса. Згідно цього принципу усі точки хвильової поверхні є уявними (фіктивними) вторинними точковими джерелами когерентних коливань. Ці джерела випромінюють сферичні хвилі від генеруючого джерела, а у напрямі до нього вони взаємно компенсуються. Для знаходження положення хвильового фронту в наступний момент часу потрібно побудувати огинаючу поверхню хвильових сферичних поверхонь указаних точкових джерел.

Розрахунок інтенсивності випромінювання у деякій точці М простору, у тому числі і тоді коли ця точка знаходиться у області геометричної тіні проводиться за принципом Френеляу такий спосіб.

а) Джерело коливань S₀ замінюється еквівалентною йому системою уявних вторинних джерел ¾ малих ділянок dS будь - якої замкненої допоміжної хвильової поверхні S, яка охоплює джерело S₀ і не охоплює точку М, що знаходиться на відстані r від dS;

б) амплітуда dЕ коливань, що збуджуються в точці М вторинним джерелом задається виразом

, (1)

де ¾ амплітуда коливань джерела , функція визначає залежність вторинного випромінювання від кута a між зовнішньою нормаллю до хвильової поверхні й напрямком від dS до М, яка монотонно зменшується від 1 при a = 0 до 0 при (вторинні джерела не випромінюють у зворотному напрямку).Результуюча амплітуда тепер може бути записана так

, (2)

де інтегрування проводиться по усій допоміжній хвильовій поверхні.

 

Зони Френеля

 

Для спрощення розрахунку амплітуди коливань від вторинних джерел випромінювання хвильової поверхні S (сфера радіуса R) у точці М для точкового джерела S₀, поверхня S розбивається на кільцеві ділянки радіуса r_i, такі, що відстань від суміжних ділянок до точки М різниться на l/2 (див.Мал.14). Це означає, що хвилі від сусідніх ділянок приходять у точку М у протифазі. Амплітуда результуючих коливань у точці М дорівнює

, (1)

де ¾ амплітуда коливань, які збуджуються у точці М і-ю кільцевою поверхнею. Такі кільцеві поверхні називаються зонами Френеля. У загальному випадку під зонами Френеля розуміють ділянки хвильових поверхонь, для яких відстань від суміжних ділянок до точки М різниться на , а результуюча амплітуда знаходиться алгебраїчним додаванням амплітуд від зон. З малюнка видно, що

. (2)

Для не дуже великих і, приймаючи, що l<<L, із попереднього рівняння можна одержати

. (3)

Площа поверхні і - ої зони Френеля дорівнює різниці площ поверхонь сусідніх сферичних сегментів

, (4)

і не залежить від номера зони, тобто є сталою величиною. Тому можна покласти, що

і величину результуючої амплітуди коливань у точці М можна представити так

. (6)

Згідно з попереднім виразом, доданки у дужках дадуть 0 і остаточно отримаємо

. (7)

 

Розрахуємо кількість зон, яку потрібно приймати до уваги при розрахунку результуючої амплітуди. Відстань найвіддаленішої N-ої зони Френеля до точки М дорівнює довжині дотичної, проведеної з М до кола, тому

(5)

і при .