Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задачи для контрольной работы ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Даны функция и точка М. Найти: а) градиент данной функции в точке М; б) производную этой функции в точке по направлению вектора , где точка - начало координат. 1. . 14. 2. . 15. 3. . 16. 4. . 17. 5. 18. 6. 19. 7. 20. 8. 21. 9. 22. 10. 23. 11. 24. 12. 25. 13.
2.5.Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения. 2.5.1. Экстремумы функций двух переменных. Говорят, что функция достигает максимума (минимума) в точке , если ее значение в указанной точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению со значениями из некоторой окрестности точки . Если функция непрерывна в некоторой области и обладает в всеми непрерывными частными производными до второго порядка включительно (эти условия выполнены для всякой элементарной функции двух переменных в ее области определения), то поиск экстремумов (максимумов и минимумов) может быть осуществлен по такому алгоритму: а) найти и ; б) найти точки, в которых одновременно и (критические точки); в) вычислив в каждой найденной критической точке () частные производные второго порядка , выяснить знак выражения . Если , то в данной критической точке () функция достигает экстремума: в случае имеется минимум, в случае - максимум. Если , то в данной критической точке экстремума нет. Пример. Исследовать на экстремум функцию . Решение. Имеем элементарную функцию, определенную при любых действительных значениях переменных и . В соответствии с изложенным алгоритмом а) Найдем частные производные , . б) Найдем критические точки (точки, подозрительные на экстремум), из системы уравнений , которая в нашем случае имеет вид или Из первого уравнения системы = , следовательно Второе уравнение системы преобразуется к виду , откуда , . Подставляя найденные значения поочерёдно в первое уравнение системы, получим , . Таким образом, заданная функция имеет две критические точки и . в) Найдем вторые частные производные данной функции:
Имеем в точке : Значит = в точке , а тогда в этой точке экстремума нет. Далее, в точке : Следовательно, =27>0, так что в этой точке имеется экстремум. Поскольку , то в точке данная функция достигает минимума. Определяем минимальное значение функции :
Ответ: . 2.5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Всякая непрерывная функция достигает в такой области D своего наибольшего и наименьшего значения. В частности, для элементарных функций может быть использован следующий алгоритм нахождения этих значений.
а) Найти частные производные и данной функции и определить критические точки, т.е. точки, в которых ; при этом рассмотреть лишь те из них, которые расположены внутри области D. б) Вычислить значения данной функции в этих точках. в) Определить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы области D. При этом, выражая переменную у или переменную х из уравнения соответствующего участка границы, будем всякий раз иметь функцию одной переменной на некотором отрезке. Исследование такой функции на наибольшее и наименьшее значение – знакомая задача (см. п. 1.5.1). г) Среди значений, найденных в п. б) и в) выбрать наибольшее и наименьшее. Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, ограниченной линиями , , . Решение. Данная элементарная функция определена при любых действительных значениях переменных и . Область , ограниченная указанными линиями, изображена на рисунке . а) Найдем частные производные данной функции , и определим критические точки: Преобразуем систему к виду или , Откуда и, следовательно, . Итак, данная функция имеет единственную стационарную точку , которая, очевидно, принадлежит области . При этом . б) Исследуем поведение функции на границе области . На участке границы имеем функцию одной переменной , . Тогда и , если , откуда . Итак, нахождению подлежит значение функции в точке , принадлежащей границе области : На участке границы имеем функцию одной переменной , . Тогда и при . В точке , принадлежащей границе области , имеем Из уравнения прямой (участка границы) выразим переменную через и подставим в заданную функцию. Получим, что при или , . Далее, и , если , откуда . Тогда В точке , принадлежащей границе области , имеем
Остается вычислить значения данной функции в концевых точках участков границы (в угловых точках области ) и выбор наибольшего и наименьшего:
, , . Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее из них равно 6 и достигается в точках , , а наименьшее значение равно -1 и достигается в точке . Ответ: достигается в точках и , достигается в точке .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; просмотров: 136; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.98.13 (0.025 с.) |