Расчет операторной передаточной функции

Активного четырехполюсника

Выпускаемые промышленностью в виде отдельных микросхем ОУ широко применяются в качестве активных элементов электрических цепей. Условное обозначение ОУ приведено на рис. 8. Входные напряжения , подаются относительно общей шины, относительно нее снимается и выходное напряжение . Один из входов ОУ называется инвертирующим, другой – неинвертирующим. Если при нулевом напряжении на одном из входов ОУ подавать напряжение на другой его вход, то полярность напряжения инвертирующего входа будет обратна полярности выходного напряжения , а полярность напряжения неинвертирующего входа будет одинакова с ним:

 

= ,

где – коэффициент усиления ОУ.

Параметры современных ОУ во многих случаях допускают их идеализацию. Идеальный ОУ представляет собой источник напряжения, управляемый напряжением, с бесконечно большим коэффициентом усиления

(), бесконечными входными (, ) и нулевым выходным ( ) сопротивлениями.

Анализ цепей, содержащих идеальные ОУ, можно проводить различными методами. Для этого следует воспользоваться схемой замещения ОУ (рис. 9). Ниже рассмотрен пример, в котором расчет цепи четырехполюсника с идеальным ОУ осуществлен методом узловых напряжений.

 

Рис. 8	Рис. 9

 

В примере рассчитывается операторная передаточная функция активного RC -четырехполюсника. Операторная передаточная функция цепи представляет собой отношение операторного изображения реакции (выходного сигнала) к операторному изображению воздействия (входного сигнала). При этом в соответствии с определением цепь должна находиться при нулевых независимых начальных условиях (в данном случае – при нулевых начальных значениях напряжений на емкостных элементах).

Пример 1. Рассчитать операторную передаточную функцию активного четырехполюсника, схема которого представлена на рис.10.

На основании исходной схемы четырехполюсника составим операторную схему замещения (рис. 11). Для этого пассивные элементы в исходной схеме заменим пассивными двухполюсниками с соответствующими операторными сопротивлениями (резистивному элементу с сопротивлением соответствует двухполюсник с операторным сопротивлением , емкостному с емкостью – двухполюсник с операторным сопротивлением ).

Схема четырехполюсника содержит также два идеальных ОУ (DA 1, DA 2). Воспользовавшись схемой замещения идеального ОУ (см. рис. 9) представим тот и другой ОУ в виде управляемых идеальных источников напряжения с операторными ЭДС , .

Рис. 10

 

Рис. 11

 

К входу четырехполюсника подключим идеальный источник тока, операторное изображение тока которого обозначим . Мгновенным значениям входного и выходного напряжений , будут отвечать их операторные изображения , .

Осуществим расчет методом узловых напряжений. Проведем топологический анализ схемы, в ходе которого выявим и пронумеруем узлы. Узел, помеченный знаком общей шины, обозначим как нулевой (узел 0) и примем его за базисный узел. Для операторных изображений узловых напряжений узлов 1–6 введем обозначения – . При этом отметим, что = , = .

К узлам 4, 6 подсоединены выходы ОУ. Узловые напряжения этих узлов являются зависимыми, так как определяются узловыми напряжениями на входах ОУ:

 

= = = ;

 

= = = .

 

При конечных значениях , и имеем =0, =0. Действительно, инвертирующий вход каждого идеального ОУ виртуально замкнут с его неинвертирующим входом, а напряжения на неинвертирующих входах ОУ в данной схеме, в свою очередь, равны нулю (эти входы соединены с общей шиной).

Таким образом, узловые напряжения узлов, к которым подсоединены инвертирующие входы ОУ, известны – они равны нулю. Неизвестными являются узловые напряжения , , , . Для нахождения этих четырех неизвестных составляем четыре уравнения по методу узловых напряжений. При этом исходные уравнения по первому закону Кирхгофа записываем для узлов 1, 2, 3, 5. Узловые напряжения этих узлов являются независимыми, а не определяются, как в случае узлов 4, 6, управляемыми источниками , .

В матричной форме система узловых уравнений примет вид

 

= .

 

Из этой системы линейных уравнений по правилу Крамера могут быть определены операторные изображения узловых напряжений входа и выхода четырехполюсника:

 

= ; = ,

 

где – определитель матрицы узловых операторных проводимостей;

 

= ;

 

= .

Операторная функция передачи рассматриваемого активного четырехполюсника будет равна

 

= = = .

 

После вычисления определителей , и подстановки полученных для них выражений получим в виде дробно-рациональной функции:

 

,