Розрахунково-графічне завдання № 6

Тема. Класичний метод розрахунку перехідних процесів

Мета: розрахунок перехідних процесів в електричних колах за допомогою класичного методу.

 

Короткі теоретичні відомості

Розглянемо випадок, коли в коло ввімкнено індуктивність і ємність.

 

Таблиця 6.1 – Алгоритм розрахунку класичним методом
№	Порядок розрахунку	Примітка
	Знаходження незалежних початкових умов (НПУ) iL(0-), uC(0-), де t = 0- – момент часу безпосередньо до комутації	коло до комутації в сталому режимі^[1]
	Складається система диференціальних рівнянь змінних складових у канонічній формі запису (6.1)	коло після комутації
	Знаходження вимушеної складової iL вим(t), uC вим(t)	коло після комутації в сталому режимі ^1
	Знаходження вільної складової
	4.1	Записується характеристичне рівняння Z(p)=0, або Y(p)=0, яке буде мати два корені: p1 та p2.	для пасивного кола
4.2	Залежно від виду коренів записують вільну складову: – корені реальні та різні p1 і p2 : ; – реальні та однакові p = p1 = p2: ; – комплексно – спряжені : .

 

Продовження таблиці 6.1

	4.3	Знаходяться сталі інтеґрування А1 та А2, або А та θ. Для цього складають систему з двох рівнянь: де (6.2) – розв’язання в загальному вигляді; (6.3) – береться похідна від (6.2). Систему розв’язують при t = 0. Значення iL(0)=iL(0-) – з незалежних початкових умов, а diL(0)/dt – знаходять з відповідного диференціального рівняння при підстановці t = 0 та НПУ.	Система для uc(t) буде мати аналогічний вигляд
	Записується розв’язання: .

 

За допомогою класичного методу будемо знаходити тільки струм, що тече через індуктивність i_L(t), або напругу на ємності u_C(t). Якщо, наприклад, необхідно знайти напругу на опорі u_R(t), то її необхідно виразити через задані i_L(t) та u_C(t).

Приклад 6.1

Для кола, зображеного на рис. 6.1, а на реактивних елементах, знайти напругу u_C (t) та струм i_L(t), якщо відомі параметри кола: I₀ = 1 А, R = 100 Ом, C = 5 мкФ, L = 40 мГн.

а) б)

Рисунок 6.1 – Вихідне коло до розрахунку (а) та схема кола до комутації в сталому режимі (б)

Розв’язання

1. Знайдемо НПУ для схеми до комутації.

Для цього використаємо схему, зображену на рис. 6.1, б.

i_L(0_-) = 0;

u_C(0_-) = u_R =I₀·R = 100 В.

2. Запишемо диференціальні рівняння для схеми після комутації.

За методом рівнянь Кірхгофа запишемо систему рівнянь змінних стану для схеми, що зображена на рис 6.2, а.

Рисунок 6.2 – Схеми після комутації: у загальному вигляді (а),

в сталому режимі (б) та у пасивному вигляді (в)

Для першого контуру з джерелом струму за ЗНК рівняння не записуємо.

З рівняння (6.5) маємо: . Підставимо цей вираз до (6.4).

Запишемо систему в канонічній формі запису:

3. Вимушена складова знаходиться за схемою після комутації в сталому режимі (рис. 6.2, б).

I_{L вим} = I₀ =1A;

u_{C вим} = 0.

4. Знайдемо вільну складову.

4.1 Запишемо характеристичне рівняння для пасивного кола (рис. 6.2, в):

.

Після перетворень отримаємо ^[2]:

.

Після підстановки числових значень:

.

Дискримінант має від’ємне значення і корені набувають вигляду:

.

Отже, маємо комплексно-спряжені корені , де α = 1000 1/с, ω_с=2000 с^-1, тоді вільна складова має вигляд: .

Якщо знаходимо iL(t):	Якщо знаходимо uC (t):
Розв’язання має вигляд
Сталі інтеґрування знайдемо із системи рівнянь (таб. 6.1, п.4.3):
Підставимо до системи t = 0
З НПУ маємо: iL(0-) = 0, uC(0-) =I0·R = 100 В.
Значення похідних знайдемо з відповідних диференціальних рівнянь (6.7) і (6.8):
.	.
Підставимо отримані значення до системи:
Остаточний розв’язок має вигляд:

Рисунок 6.5 – Коливання струму i_L(t), що виникають у колі після комутації

 

На рис. 6.5 побудовано залежність i_L(t). Тривалість перехідного процесу вважається , а у випадку комплексно-спряжених коренів , де .

Для наочності на графіку пунктирними лініями зобразимо експоненти, які зумовлюють з коефіцієнтом затухання α – швидкість протікання перехідного процесу.

Отже, як видно з рис. 6.5, після часу коло вже практично знаходиться в сталому режимі

Знайдемо квазіперіод процесу:

Приклад 6.2

Рисунок 6.6 – Вихідна схема для розрахунку

 

Для кола зображеного на рис. 6.6, знайти напругу u_R2 (t), якщо відомі параметри кола: U = 10 B, R = R₁= R₂ = 50 Ом, C = 10 мкФ, L = 16 мГн.

Розв’язання:

Спочатку оберемо додатні напрямки струмів у гілках схеми.

Виразимо значення u_R2 (t) через змінні стану:

.

Отже, класичним методом будемо знаходити струм i_L (t).

а) б)

Рисунок 6.7 – Схема до комутації в сталому режимі (а) та після комутації (б)

1.Знаходимо НПУ за схемою на рис. 6.7, а.

2. Складемо систему диференціальних рівнянь за законами Кіркгофа для схеми після комутації (рис. 6.7, б).

Запишемо систему в канонічній формі запису:

3. Знайдемо вимушену складову.

Після комутації джерело від’єднується від кола, тому в сталому режимі отримаємо:

i_{L вим} = 0; u_{C вим} = 0.

4. Знайдемо вільну складову.

4.1 Запишемо характеристичне рівняння для схеми, зображеної на рис. 6.7, б.

Після підстановки числових значень:

.

Розв’язання цього квадратного рівняння дає такі корені:

p₁= –5000 та p₂ = –1250,

тобто маємо корені реальні та різні, тоді вільна складова повинна мати вигляд:

.

4.3 Знайдемо сталі інтеґрування А₁ та А₂ із системи рівнянь:

Ураховуючи, що i_{L вим} = 0, запишемо систему при t = 0:

З НПУ .

Першу похідну при t = 0 виразимо з диференціального рівняння (6.10):

.

Тоді:

Після розв’язання системи отримаємо: А₁ = А₂ = 0,05.

Підставимо відповідні складові до виразу: і отримаємо остаточну відповідь:

.

Залежність i_L(t) зображено на рис. 6.8.

Визначимо тривалість перехідного процесу: .

З графіка на рис. 6.8 видно, що через даний інтервал часу після відключення від джерела живлення перехідний процес практично закінчився і стан струму в гілці вже визначає вимушена складова i_{L вим} = 0.

За умовою завдання знайдемо невідому напругу:

, В.

Графік буде аналогічним до рис. 6.8, за винятком масштабу за віссю ординат.

Рисунок 6.8 – Графік перехідного процесу для i_L(t)

 

Завдання до теми

1. Розрахувати визначену в табл. 6.2 величину перехідного струму або напруги за допомогою класичного методу.

У табл. 6.2 наведено варіанти схем електричних кіл, які підлягають розгляду.

2. Побудувати графік зміни у часі розрахованої величини перехідних струмів або напруг на відрізку часу від t = 0 до t = 3/׀р_min׀.

3. Визначити величини опорів резистора R, при яких перехідний процес буде аперіодичним, критичним і коливальним.

Таблиця 6.2

Варіант	Рисунок	Знайти	Варіант	Рисунок	Знайти
	2.2, а	iC(0)		2.2, в	iR(0)
	2.2, б	iC(0)		2.2, г	iR(0)
	2.2, в	iC(0)		2.2, а	uL(0)
	2.2, г	iC(0)		2.2, б	uL(0)
	2.2, а	iL(0)		2.2, в	uL(0)
	2.2, б	iL(0)		2.2, г	uL(0)
	2.2, в	iL(0)		2.2, а	uR(0)
	2.2, г	iL(0)		2.2, б	uR(0)
	2.2, а	iR(0)		2.2, в	uR(0)
	2.2, б	iR(0)		2.2, г	uR(0)

 

Параметри елементів електричних кіл, схеми яких відображено на рис. 6.9 відповідно складають:

1. Для схем рис. 6.9, а, г – індуктивність L = (m + n) мГн, ємність С = 0,01m мкФ, резистор R = 100·n Ом, напруга джерела живлення U₀ = ціла частина [100/(m + n)] В, а струм джерела струму J₀ = 10 m A.

2. Для схем рис. 2.2, б, в – індуктивність L = m мГн, ємність С = ціла частина [0,01(n/m)] мкФ, резистор R = 20·n Ом, R₁ = 100·m Ом, а напруга живлення U₀ = 10·m В.

 

Рисунок 6.9 – Схеми для розрахунку

 

Контрольні питання

1. Дайте визначення комутації та сформулюйте закони комутації.

2. Наведіть алгоритм аналізу перехідного процесу класичним методом.

3. Чим визначається характер перехідного процесу в електричному колі?

4. На що впливатиме характер збурення, прикладеного до електричного кола, при перехідному режимі?

5. Чи може виникнути коливальний перехідний процес під час приєднання кола другого порядку до джерела постійної напруги?

6. Дайте визначте логарифмічного декремента згасання. На що впливатиме його значення?

Література: [1–4].