Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

 

Иногда такой несобственный интеграл еще называют

несобственным интегралом первого рода.

В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так:

 

.

В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный:

.

Встречаются интегралы и с бесконечным нижним пределом

,

или с двумя бесконечными пределами:

.

Мы начнём с рассмотрения самого популярного случая

.

Техника работы с другими разновидностями – аналогична.

 

Всегда ли существует несобственный интеграл

?

Нет, не всегда.

Подынтегральная функция f (x) должна быть непрерывной на интервале [ a; +∞), или иметь устранимые разрывы, и быстро сходиться на бесконечности.

Строго говоря, если есть разрывы функции, то в ряде случаев можно разбить интервал на несколько частей и вычислить несколько несобственных интегралов.

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции f (x). Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:

 

Здесь подынтегральная функция f (x) непрерывна на интервале [ a; +∞). Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная (не ограниченная справа) фигура. И, чтобы площадь криволинейной трапеции существовала, она должна, при стремлении x к +∞, стремиться к конечному числу (быть конечным числом).

Несобственный интеграл

численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:

1) Первая мысль, которая приходит в голову: «Раз фигура бесконечная, то и интеграл

»,

иными словами, площадь тоже бесконечна. Так может быть. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.

2) Но! Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например:

.

Может ли так быть? Да. В этом случае несобственный интеграл сходится.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции f (x) и от её поведения на бесконечности.

 

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае несобственный интеграл

,

«расходится», либо равен отрицательному числу.

 

Несобственный интеграл может быть отрицательным.

Важно! Когда Вам для решения предложен ПРОИЗВОЛЬНЫЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО, либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла рассказан только для того, чтобы легче было понять материал. Поскольку несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница:

.

На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: b = +∞. Наверное, многие догадались, что здесь необходимо применение теории пределов, и формула запишется так:

.

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию F (X) (неопределенный интеграл) и уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела.

У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений.

Рассмотрим два классических примера:

Пример 1

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Для наглядности построим чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.

Подынтегральная функция (y = 1/ x) непрерывна на интервале [1; +∞). Попробуем вычислить несобственный интеграл «штатным» методом.

Применение нашей формулы

и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности (не существует).

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применяется эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы x «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам непонятно, почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции.

 

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

 

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на «полубесконечном» интервале .

Несобственный интеграл расходится.

 

При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией на границах интервала. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла.

 

Если Вам встретится интеграл вроде

,

то с вероятностью, близкой к 100%, можно сказать, что это опечатка. Здесь подынтегральная функция не является непрерывной, на интервале интегрирования , она терпит разрыв в точке . Теоретически и практически допустимо вычислить два несобственных интеграла на интервалах и , а потом их сложить, но со здравой точки зрения такая вещь выглядит довольно абсурдно. Опечатка.

Иногда вследствие опечатки несобственного интеграла может вообще не существовать. Например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть интервала интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.