Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегрирование сложных тригонометрических функций
На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. В том примере для нахождения интеграла мы применяли тригонометрическую формулу . Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!
Пример 15 Найти неопределенный интеграл . Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов: (1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы. (2) Для одного из множителей используем формулу (3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла. (4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала, во втором интеграле еще раз используем формулу , в данном случае . (5) Берём все три интеграла и получаем ответ.
Пример 16 Найти неопределенный интеграл Это пример для самостоятельного решения.
Для котангенса существует аналогичная формула: . Полное решение и ответ в конце урока.
Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций. На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Рассмотрим еще один канонический пример - интеграл от единицы, деленной на синус:
Пример 17 Найти неопределенный интеграл . Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Приведём это решение с комментариями к каждому шагу: (1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла . (2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на . (3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс. (4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.
Пример 18 Найти неопределенный интеграл . Указание: Самым первым действием следует использовать формулу прив е дения и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.
Пример 19 Найти неопределенный интеграл . Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.
Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами: и т.п. В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса . То есть, речь идет о замене: . В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала. Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса. Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены:
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 402; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.12.71.237 (0.005 с.) |