Внецентренное сжатие стержней.

Рассмотрим стержень, подвернутый внецентреному сжатию.

Через L обозначаем эксцентриситет приложения сжимающей силы Р.

Внецентренно приложенную силу заменяем центрально приложенной силой и изгибающим моментом.

Рассмотрим реальное поперечное сечение стержня:

 

Рис. 1

Преобразует схему нагружения рассмотренным выше способом.

1)Переносим силу Р на ось ОХ: (у=0) и получаем следующий набор силовых факторов:

Р(х_р,0), М_х=Ру_р

2) Переносим силу Р в центральную точку О (0;0) и получаем следующий набор силовых факторов:

Р(0;0) - центральная сжимающая сила:

М_х=Ру_р - момент, относительно оси ОХ

М_у=Рх_р - момент, относительно оси OY

Запишем формулу для напряжений от действия 3-х выявленных силовых факторов:

(1)

Данная формула используется в общем случае внецентренного растяжения и сжатия.

Из знаков в формуле (1) в соответствии с конкретикой рис. 1 выбираем знаки “+” или “-“ перед каждым конкретным слагаемым:

(2)

Введем понятие о ГОСТотвских величинах радиусов инерции сечения: i_x, i_y (м)

- радиус инерции сечения относительно оси ОХ (м) (2,1)

- то же относительно оси OY (2,2)

Возведем формулу (2.1) в квадрат: ,

(2,3)

 

Аналогично получаем выражение (2,4)

Перепишем (2) в виде:

(3)

Уравнения (2) и (3) представляют собой уравнения плоскости, не проходящей через начало координат, то есть при х=0, у=0 .

В некоторых случаях данная плоскость делит поперечное сечение на 2 части с разными знаками напряжения:

: хорошо работают практически все материалы.

: плохо работает кирпичная кладка и бетон. Например, для бетона класса 30

R_{бет сж} =30МПа

R_{бет раст} = 0.75МПа

Выводим формулу для нулевой линии, на которой напряжения равны нулю, т.е.

Из уравнения (3): , (4)

В общем виде поиск нулевой линии по уравнению (4) сложен.

Найдем точку пересечения нулевой линии с осью Х, на которой Y=0:

, (5,1)

- найден отрезок, отсекаемый нулевой линией на оси ОХ.

Найдем точку пересечения нулевой линии с осью Y, на которой X=0:

, (5,2)

- найден отрезок, отсекаемый нулевой линией на оси ОY.

Пример: возьмем прямоугольное поперечное сечение

Определяем отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях X и Y:

- на оси OX

- на оси OY

Если сила Р сменит свое положение, передвигаясь к центру тяжести сечения, то зона σ>0 будет прогрессивно убывать.

Классифицируем данные случаи:

1. нулевая линия пересекает контур сечения

Рис. 2

В результате в сечении возникают как растягивающие, так и сжимающие напряжения.

2. нулевая линия касается контура сечения, при этом во всем сечении, кроме точки(точек) контура возникают напряжения одного знака.

 

Рис.3

3. нулевая линия проходит вне контура сечения – во всех точках сечения, включая точки его контура, возникают напряжения одного знака.

 

Рис. 4

Самым важным является случай 2, т.к. он является предельным для бетона, каменной складки и других материалов, плохо работающих на растяжение.

Вводим понятие об ядре сечения (специальной области вокруг центра тяжести сечения)

а) если сила Р расположена вне ядра сечения – нулевая линия (н.л.) пересекает контур сечения (рис.2)

б) если сила Р расположена на границе ядра сечения- нулевая линия касается контура сечения (рис.3)

Т.е. если привести нулевые линии, касающиеся контура сечения, то в этом случае мы найдем точки на границе ядра сечения.

Решим задачу:

Рис. 5

І. Н.л. параллельна ОХ:

,

Перепишем формулы (5) в следующем виде:

,

: точка на границе ядра сечения имеет координату 0 на OY.

ІІ. Н.л. параллельна OY:

,

- на OX

Справедлива следующая

Теорема: при вращении нулевой линии вокруг некоторой точки соответствующий ей центр давления перемещается по прямой.

Рассмотрим вопросы расчетов на прочность. Формула для напряжений при внецентренном сжатии имеет известный вид:

При знании положения н.л. можно выделить две характерные точки поперечного сечения – А и Р.

По закону плоскости максимальное напряжение будет в точке, наиболее удаленной от н.л.

Проводим расчет на прочность при сжатии:

Проводим расчет на прочность при растяжении:

Из 2-х значений Р необходимо взять наименьшее, т.к. одновременно должны выполняться оба условия прочности (и на растяжение, и на сжатие).

Для построения эпюры нормальных напряжений на контуре поперечного сечения достаточно определить напряжения в точках излома контура и соединить их прямыми линиями, например:

Лекция 19

Косой изгиб

Он встречается во многих элементах строительных конструкций.

α- угол между линией действия силы и главной осью балки.

Общим является то, что балка изгибается в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных осей. Изобразим силу, действующую под углом к главным осям балки.

Рис. 1

Аналогичная ситуация возникает при торможении груза.

Ранее изучался изгиб относительно главных осей. Раскладываем силу Р на две составляющие

Р_у вызывает изгибание балки относительно оси х:

Рис.2

Аналогично записывается выражение для другой составляющей силы Р_х

Суммарное напряжение в точке поперечного сечения:

(1)

- характер изменения изгибающих моментов вдоль оси z.

Знаки в формуле (1) зависят от выбранного напряжения осей х и у.

Очевидно, что в формуле (1) для балки с (рис.2) с нагрузкой с (рис.1) напряжение будет следующим:

; ,

Необходимо найти точки сечения, в которых действует наибольшее нормальное напряжение.

После этого с использованием условий прочности необходимо подобрать габариты поперечного сечения, а затем определить наибольшие возможные действующие нагрузки, после чего необходимо проверить величины напряжений, действующих в сечении

Как и при внецентренном сжатии точки наиболее удалены от нейтральной линии, на которой

Из условия получаем:

β- угол между нейтральной линией (где ) и осью х.

Можно записать выражение для

(2)

Если , то силовая линия перпендикулярна нулевой линии.

Приведем сечения, для которых это выполняется безусловно

Для этих геометрических фигур косой изгиб никогда не реализуется.

Косой изгиб реализуется лишь в тех балках, у которых :

Например, он реализуется для прямоугольного поперечного сечения:

;

При этом

Для доски (прямоугольной) 5х15см нулевая линия будет почти горизонтальной.

Первый вариант существенно экономичней.

Наибольшие напряжения возникнут в точках, отмеченных (+)(+) и (-)(-).

Определяем напряжения в данных точках:

При косом изгибе главной является проверка на растяжение, т.к., как правило, .

Вышеприведенное относительно к расчету по первому предельному состоянию (по прочности).

Переходим к расчету по второму предельному состоянию (по деформативности). Рассмотрим идеализированный случай прямого изгиба балки.

Определяем прогиб на конце консольной балки.

Перемножим эпюры М и М₁ по формуле Симпсона.

Переходим к косому изгибу, тогда:

Относительно оси у прогиб вызывается силой и составляет

По оси х перемещение вызывается силой :

Результирующий вектор прогиба будет определяться по теореме Пифагора:

Подсчитаем угол , составленный вектором прогиба у:

Запишем: (3)

Данная формула совпадает с формулой

Отсюда следует, что вектор прогиба перпендикулярен нулевой линии.

Для балок различной назначения устанавливается свое собственное отношение , для балок на двух опорах эта величина = 1/450.

Рассмотрим пример по косому изгибу.

Зададим пролет двутавровой балки, нагрузку на нее:

Зададим угол отклонения при торможении

Очевидно, что:

Тогда ;

Максимальное напряжение составляем:

Сначала подбираем балку при прямом изгибе нос запасом прочность

С запасом принимаем №55:

№55

Проверим данное сечение:

Из-за второй составляющей (горизонтальной) σ_max существенно превышает расчетное сопротивление.

Предположим, что возьмем наибольший №60:

Тогда:

Вывод: сечение необходимо делать из двух прокатных двутавров, так как двутавр №60 не удовлетворяет условию прочности.

Лекция 20

 

Устойчивость стержней

Устойчивость- способность объекта сохранять исходное состояние в равновесии и проектной форме деформирования при действии расчетных нагрузок.

Примеры потери устойчивости:

Изогнутое состояние- потеря устойчивости.

41% аварий происходит за счет потери устойчивости элементов конструкции.

Теоретически устойчивость стержней исследовал Л. Эйлер (18в.).

 

Формула Эйлера: (1)

Р_крит- номинальная критическая сила, при которой происходит потеря устойчивости стержня.

Формула (1) соответствует шарнирному закреплению стержня по концам.

,

На практике условие закрепления стержней весьма разнообразное. Поэтому необходимо рассматривать всевозможные варианты.

Вводим понятие о приведении длины стержня:

- безразмерный коэффициент приведения длины

Полуволна синуса набирается на длине

При этом формула Эйлера имеет вид:

величины критической силы в 4 раза меньше по отношению к случаю (1).

 

с увеличением жесткости опорных устройств величины критических сил возрастают.

- длина реализации полуволны синуса.

Рассмотрим самый жесткий, возможный вариант закрепления:

наивысшее возможное значение критической силы при закреплении стержня по концам.

наличие горизонтальных опорных стержней по длине стержня существенно увеличивают величины Р_кр.

Рассмотрим, что происходит в случае (4), если убрать одну из связей: (горизонтальная подвижность)

при удалении связи величина критической силы существенно понижается (устойчивость теряется при меньшем значении Ркр).

 

Обобщенная формула Эйлера:

Справедливы следующие утверждения:

1) Потеря устойчивости происходит в пределах пропорциональной зависимости между напряжением и деформацией.

Формула (3) не применима

2) Сила действует строго центрально

3) Стержень является строго прямолинейным

4) Нет никаких поперечных воздействий на стержень

В реальности данное условие не выполняется

Рассмотрим случай, когда потеря устойчивости происходит при возникновении пластических деформаций:

1876-1888гг.- США- 251 катастрофа мостов.

Слепое следование формуле Эйлера (3)

Выясним, к чему ведет ограничение (1):

Переходя от критических сил к критическим напряжениям:

Во внецентренном сжатии введено понятие о радиусе инерции относительно оси:

(4)

Тогда:

Вводим понятие о фундаментальной величине- гибкости стержня.

(5)

Например, если увеличивается длина стержня, то пропорционально увеличивается его гибкость.

При сокращении габаритов поперечного сечения стержня уменьшается .

Формула для тогда имеет вид:

Отсюда находим предельное значение гибкости λ:

(6)

Если , то можно использовать формулу Эйлера:

Для стали: ; ;

Для сосны: ; ;

Для бетона: ;

В результате проведения опытов под криволинейными центральносжатыми стержнями, получаются следующие критических напряжений:

Формула для при возможности возникновения пластичной деформации перед потерей устойчивости.

Формула, полученная в результате обработки данных многочисленных опытных исследований, имеет вид:

(7)

a и b – экспериментальные коэффициенты (получены статической обработкой данных опытов)

Для стали: а=300(МПа); b=1.14(МПа)

При подстановке N получаем (линейная зависимость)

По Ясинскому:

Разделом между формулами является величина

- формула Эйлера

- формула Ясинского

Практический способ расчета стержней на устойчивость:

Величина Р_кр считается лишь для идеальных стержней:

а) идеальный стержень прямолинеен

б) центрально-сжатый

в) без внутренних полостей

г) без боковых воздействий

В реальности стержни теряют устойчивость при величинах

При этом величина , - коэффициент запасоустойчивости

Общепринято вести расчет следующим образом:

Считаем, что

Тогда формула принимает следующий вид:

(8)

(9)

Для каждого материала составляем таблицу в соответствии между гибкостью и величиной

Рассмотрим алгоритм использования формулы (9). В нее входят две неизвестных величины А и . Обычно задают

Тогда

,

Далее определяем гибкость стержня:

В табличные значения даются с шагом 10 по

(10)

После этого сопоставим полученные величины с ранее взятыми величинами . Если они различаются существенно, то:

Возвращаемся на подсчет площади поперечного сечения с новым значением

Доказано, что данный процесс сходится к точному значению для конкретного числа шагов.

При наличии опыта проектирования конкретных стержней возможно назначать величины , исходя из конкретных прежних данных. После подсчета окончательных габаритов поперечных сечений вычисляем величину , которую необходимо округлить до разумной величины. Кроме того, известна величина :

да:

нет:

из них следует:

Для стальных конструкций

Лекция 21

 

Тонкостенные стержни открытого профиля.

Рассмотрим некое тонкостенное поперечное сечение

Считаем, что к тонкостенным профилям относятся такие, у которых:

(i=1,2,…,n)

Например у №10

- толщина стенки

- высоко

У №40: d=0.8см; h-2t=40-2*1.35=37.3см;

Существуют более сложные тонкостенные поперечные сечения

Рассмотрим особенности работы тонкостенных поперечных сечений:

По (рис.1): (Нм²)

Рассмотрим задачу на внецентренное сжатие двутаврового поперечного сечения.

Возьмем №12: h=12см, b=6.4см, d=0.48см, t=0.73см, А=14.7см², , , ,

Выясним максимальную величину допускаемой силы при приложении ее к точке А₁, А₂, А₃.

;

;

;

Поделим Р_доп при расположении сжимающей силы в точке А3

или:

 

;

Эксцентриситет сжимающей силы относительно оси у вызывает резкое снижение величины допустимой нагрузки для двутаврового поперечного сечения.

Попытаемся подсчитать координаты пересечения нулевых линий с осями X и Y.

- нулевая линия

На оси х: ;

На оси у: ;

Выясняем, какова будет эпюра напряжений в сечении сжатой двутавровой стойки.

Полный расчет сжатой стойки предполагает полное исследование ее устойчивости:

считаем, что потеря устойчивости может произойти в плоскости наибольшей жесткости.

; ; ;

Подсчитаем гибкость:

Очевидно, что величину критической силы можно определить по формуле Лосинского:

Данная величина меньше, чем Р_доппри простом сжатии без возможности потери устойчивости.

Допускаемое напряжение подсчитывается по формуле:

 

Лекция 22

Расчет изгибаемых балок с тонкостенным поперечным сечением

Тонкостенностью называются поперечные сечения, у которых

а- длина элемента профиля

δ- толщина элемента профиля

Для тонкостенных поперечных сечений дополнительно возникает напряжение:

(1)

Причем вносит существенный вклад в общее напряженное состояние.

Сначала необходимо определить все геометрические характеристики поперечных сечений

1) Определение положения центральной точки поперечного сечения:

выбираем произвольную ось OY

Координаты центральной точки определить по формуле:

Подсчитаем статические моменты площади и площади поперечного сечения:

- при этом все размеры берутся в осях элемента.

- решение между осью у и центральной точкой сечения.

2) Определяем величины Моментов инерции сечения относительно оси X_c и Y_c

по формуле Симпсона.

Можно построить эпюру у:

- формула Симпсона

Аналогично может быть подсчитана величина Iy:

Если использовать для подсчета геометрических характеристик точное выражение, то получаем:

. Погрешность в вычислениях:

Статический момент площади:

Координаты центра точек:

, погрешность

,

Итак, выполненные приближенные вычисления обладают высокой точностью.

В формуле для моментных напряжений:

Определение: секториальной площадью называется величина, равная удвоенной площади треугольников, описывающих при движении точки по оси элементы сечения.

Правило №1: в местах соединения элементов профиля

Правило №2: при движении конца вектора по прямой, меняется по закону прямой линии.

При определенном выборе положения полюс эпюра получается в простейшем полюсе.

Правило №3: если при движении вектора по прямой треугольники получается вырожденными, то площадь

Для дальнейших вычислений стремимся к наибольшей простой эпюре .

Понятие о центре изгиба:

Если равнодействующая, приложенная к нагрузке R, проходящая через центр точки сечения, то создается момент, равный произведению R на решение между центром точки и центром изгиба.

В результате поперечное сечение будет закручиваться вокруг центра изгиба, в данном случае по часовой стрелке.

Если равнодействующая R действующая в точке изгиба, то сечение деформируется без закручивания и напряжение можно подсчитать по формуле:

В реальном случае: , причем второе слагаемое вносит существенный вклад в напряженное состояние.

Для получения центра изгиба используется формула:

(2)

- центробежный секториальный момент относительно оси Х.

Тогда

Тогда координата центра изгиба получается по формуле:

: в главных центральных осях (I_ц) необходимо отстроить по оси ОХ на 0,91.

Для дальнейших вычислений потребуется эпюра , взятая для полюса в центре изгиба:

В формулу напряжения входит секториальная величина для ω:

Лекция 23

Расчет изгибаемых балок с тонкостенным поперечным сечением

на стестенное кручение

При обычном изгибе балки используется функция у(м)- прогиб

у(м) –прогиб - участок закручивания (рад)

- угол поворота - искривление поперечного сечения стержня)

- изгибающий момент - бимомент

- изгибный момент

При кручении тонкостенного профиля возникает крутящий момент:

(1) - составляющая крутящего момента

В результате возникает крутящий момент:

- расстояние от центра изгиба до центра точки

- секториальный момент площади при полюсе в центре изгиба.

Приводим уравнение (1) к виду:

Дифференцируем уравнение (1): - погонное колебание

(2)

Вводим обозначения: ; (3)

- может быть решено методом начальных параметров в соответствии с граничными условиями по концам балки.

Два начальных параметра определяются сразу из условий на левом конце балки, другой начальный параметр подсчитывается из системы уравнений, записанных для правого конца балки.

Нагрузка занимает всю балку целиком.

Тогда по методу начальных параметров выражения для функций будут иметь вид:

Все остальные функции получаются дифференцированием приведенного выражения