Практика 20 (2 декабря у обеих групп).

Основные правила дифференцирования, таблица производных.

Вводная часть. Таблица производных.

Степенные функции. .

В частности, отсюда можно вывести:

1) . 2) .

Действительно,

Пусть . Тогда = = .

Пусть . Тогда = = .

Показательные. в частности, ;

Логарифмические. , в частности, .

Тригонометрические.

; ; ; ;

Обратные тригонометрические:

; ;

; ;

Гиперболический синус и косинус: и

Здесь повтор производных будет не через 4 шага, как для обычных синуса и косинуса, а через 2 шага.

Действительно, и .

Задача 1. С помощью определения доказать, что .

Решение. = =

=

воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени :

=

= =

= = .

Ответ. .

Задача 2. Вычислить производную от функции .

Решение. Здесь композиция функций, внутренняя - синус, внешняя - степенная. = = .

Ответ. .

 

Задача 3. Найти производную от .

Решение. Здесь композиция трёх функций. Сначала действует степенная и переводит в , затем вычисляется косинус, а от этого выражения зависит логарифм.

= = = , что можно записать в виде .

Ответ. .

Задача 4. Найти производную функции .

Решение. Способ 1. Можно рассматривать как композицию, тогда:

= = = = .

Способ 2. Можно рассматривать сразу как степенную функцию с дробной степенью, тогда решение такое: = .

Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же.

Ответ. .

Задача 5. Найти вторую производную .

Решение. Сначала найдём 1-ю производную. = =

= = = = .

А теперь есть 2 способа. Во-первых,можно рассматривать как дробь, и вычислять по правилу .

= = .

А во-вторых, можно эту функцию рассматривать в виде , то есть композицию и тогда:

= = = .

Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же.

Ответ. .

Задача 6. Найти производную от .

Решение. Здесь произведение, причём в одном из множителей есть композиция.

= =

= = .

Ответ. .

 

Задача 7. Найти производную от функции .

Решение. = =

. Каких-либо существенных упрощений в этом выражении добиться невозможно.

Использовать формулу тоже нельзя, ведь там коэффициентами при них служат разные функции,у одной корень а у другой .

Ответ. .

Задача 8. Найти производную от .

Решение. Здесь нельзя применять формулу степенной функции, ведь в показателе тоже есть переменная. Но нельзя и формулу показательной функции, т.к. в основании тоже есть переменная. Единственным выходом здесь является логарифмирование, чтобы соатлось только в степени. Основание может быть представлено в виде . Тогда = = .

= = =

а теперь можем заменить обратно на .

После приведения подобных, получим .

Ответ. .

 

Перерыв в середине пары

Задача 9. Найти 1 и 2 производную от .

Решение. = =

= , что можно записать в виде .

Вторая производная: = = .

Ответ. , .

 

Задача 10. Найти производную вектор-функции .

Решение. Производные двух координатных функций ищем независимо друг от друга.

= .

Ответ. .

Задача 11. Найти 1-ю и 2-ю производную для . Найти .

Решение. = =

= =

= =

= = = =

. Итак, .

Следующая, 2-я производная:

= = =

= .

Вычислим «тестовое» значение при конкретном .

= = = = 2.

Ответ. , , =2.

Задача 12. Найти 1-ю и 2-ю производную для .

Решение. = =

= = .

2-я производная: =

= =

= ,

сократим по крайней мере на 1 множитель :

=

= =

= = .

Ответ.

 

Задача 13. Дана функция .

Найти , .

Решение. = =

= = =

= = .

Максимально возможно привели подобные, чтобы затем было легче считать 2-ю производную.

= = =

= = .

Вычислим . = = = 48.

Ответ. . .

 

Задача 14. найти , .

Решение. , = = .

= = =

= .

= . = .

Ответ. , .

 

Домашняя задача (15). Найти 2-ю производную для .

Решение. 1-я производная: = =

= .

2-я производная: =

= =

= =

= =

= .

Ответ. .

Практика 21

Практика 22