Методика кореляційно-регресійного аналізу

Кореляційно-регресійний аналіз дозволяє визначити тісноту зв'язку між досліджуваними показниками і пропорційність зміни результативного показника при зміні одного чи декількох факторів. Залежно від кількості досліджуваних ознак розрізняють парну (просту) кореляцію, коли аналізують зв’язок між однією факторною і результативною ознаками і множинну, коли вивчають залежність результативної ознаки від двох і більше факторних ознак.

Головною характеристикою кореляційного зв’язку є лінія регресії. Рівняння лінійної регресії має вигляд:

.

Параметри і знаходять, розв’язуючи систему нормальних рівнянь:

де п – кількість одиниць сукупності (тобто заданих пар значень х і у).

Розв'язавши цю систему, дістанемо:

Для прикладу розрахуємо параметри рівняння лінійної регресії, що характеризує залежність урожайності від якості ґрунту на 10-ти земельних ділянках (табл. 3).

Підставивши відповідні значення в систему рівнянь, отримаємо: 10 + 18,3 =341,2;

18,3 + 35,77 =641,17.

Використовуючи вище наведені формули, знайдемо значення параметрів:

Таблиця 4

Дані до регресійного аналізу залежності урожайності зернових у (ц/га) від якості ґрунту х (в балах)

№ ділянки	х	у
	1,3	26,7	1,69	712,89	34,71	30,32	919,3024
	2,1	32,5	4,41	1056,25	68,25	36,24	1313,3376
	1,5	27,9	2,25	778,41	41,85	31,8	1011,24
	2,4	35,0	5,76	1225,00		38,46	1479,1716
	2,2	32,4	4,84	1049,76	71,28	36,98	1367,5204
	1,9	33,1	3,61	1095,61	62,89	34,76	1208,2576
	1,0	30,9	1,00	954,81	30,9	28,1	789,61
	2,5	50,1	6,25	2510,01	125,25	39,2	1536,64
	1,4	38,6	1,96	1489,96	54,04	31,06	964,7236
	2,0	34,0	4,00	1156,00		35,5	1260,25
Всього	18,3	341,2	35,77	12028,7	641,17	342,42	11850,052
В середньому	1,83	34,12	3,577	1202,87	64,117	34,242	1185,0052

Отже, теоретична залежність рівня урожайності зернових культур від якості ґрунту має такий вигляд:

Це означає, що при збільшенні якості ґрунту на один бал рівень урожайності зростає на 7,4 ц/га.

Для оцінки щільності прямолінійного зв’язку результативної і факторної ознак використовують коефіцієнт парної кореляції, який обчислюють за формулою:

r ₌ ,

де – середнє квадратичне відхилення факторної ознаки; – середнє квадратичне відхилення результативної ознаки.

Так як , а , то формула лінійного коефіцієнта кореляції буде такою:

Розраховане значення коефіцієнта кореляції (r = 0,564) свідчить, що між ознаками іс­нує середня щільність зв'язку.

Тіснота зв'язку в кореляційно-регресійному аналізі вимірюється коефіцієнтом детермінації R². Він дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції:

R² = ,

де – дисперсія результативного показника, обчислена за рівнянням регресії; – загальна дисперсія результативного показника.

Цей показник пояснює, яка частка варіації досліджуваного показника обумовлюється впливом фактору, включеного до рівняння регресії. Він може мати значення від 0 до 1. Чим ближче коефіцієнт детермінації до одиниці, тим більше варіація результативного показника характеризується впливом досліджуваного фактора.

Так як = , а , то в нашому прикладі = 1185,0052-34,12 =20,8308,

=1202,87-34,12 =38,6956.

Отже, R²= .

В даному випадку коефіцієнт детермінації показує, що урожайність залежить на 53,8% від якості ґрунту і на 46,2% – від інших факторів.

Якщо кількісні показники кореляційного аналізу обчислені за вибірковими даними, то потрібно визначити їх відповідність показникам зв’язку у генеральній сукупності. Середню помилку вибіркового коефіцієнта парної кореляції визначають за такою формулою:

де r – коефіцієнт кореляції, n – вибіркова сукупність.

Вірогідність коефіцієнта кореляції визначають за t-критерієм, який обчислюють як відношення коефіцієнта кореляції до його середньої помилки:

.

Якщо > при встановленому рівні імовірності, то можна зробити висновок, що в генеральній сукупності існує вірогідний зв'язок між досліджуваними ознаками.

У нашому прикладі середня помилка вибіркового коефіцієнта дорівнює .

 

Фактичне значення t-критерію буде таким:

.

Табличне значення t-критерію при рівні ймовірності 0,95 і 8 ступенях свободи дорівнює 2,3060 (див. додаток В). Оскільки обчислена величина t більше табличної, то можна зробити висновок про вірогідність коефіцієнта кореляції, тобто в даному випадку зв’язок між досліджуваними явищами в генеральній сукупності доведений.