Методы решения математических зависимостей. Численные методы вычисления математических функций Погрешности в цифровой системе управления. Погрешности. Причины возникновения погрешностей.

Решение задач идентификации, фильтрации, оптимального управления и других связано с математическими зависимостями - уравнениями. Выбор метода зависит от вида математической зависимости:

- линейная

- нелинейная

- дифференциальные уравнения

- уравнения с частными производными и интегральными уравнениями и др.

Методы решения математических зависимостей:

- аналитические

Аналитическое решение характеризуется тем, что оно является абсолютно точным, но при этом, если уравнение окажется сколько-нибудь сложным, то решение не будет найдено вовсе. То есть аналитический путь решения не универсален.

- численные

Заметим, что численный метод дает ошибку при расчете, поскольку считает производную постоянной на шаге. Но чем меньше шаг, тем выше точность расчета. При этом следует понимать, что увеличение числа шагов ведет к вычислительным затратам и снижению быстродействия.

Численные методы вычисления математических зависимостей.

Методы решения СЛАУ:

- метод Гаусса

- метод квадратного корня

- итерационные методы (методы Якоби, Зейделя)

Методы решения нелинейных уравнений:

- метод простых итераций

- метод деления пополам

-метод Ньютона

Методы решения дифференциальных уравнений:

- метод Эйлера

- метод Рунге-Кутта

Погрешность – разница между точным решением задачи и приближенным, полученный численными методами.

Причины возникновения погрешностей:

- погрешность исходных данных – измерительных приборов. Неустранимая погрешность, ее необходимо учитывать, не может быть меньше чем деление прибора.

- погрешности метода (апрокимации). Может быть оценена и в зависимости от точности, с которой нам нужно решить задачу, выбрать нужный метод.

- погрешности округлений.

Погрешности:

- механические

- погрешность линии связи

- погрешность инструментов

- алгоритмическая погрешность

- погрешность внешних воздействий

Оценка погрешности.

X – точное значение

X’ – приближенное значение

D = X’ – X - абсолютная погрешность

E = (X’ – X)/X’ - относительная погрешность

Погрешности в цифровой системе управления.

Цифровые вычислительные машины, выполняющие функции управляющих звеньев сложных систем, получают информацию о различных возмущающих воздействиях, а также о состоянии системы в текущий момент времени и вырабатывает сигналы управления объектами системы и системой в целом. Эти сигналы вырабатываются с некоторой погрешностью, которая в конечном итоге сказывается на показателях качества управления системы.

Одним из основных критериев качества ЦСУ является точность выработки управляющего воздействия. Данный параметр указывается в техническом задании на разработку ЦСУ. Для обеспечения заданной точности на выходе системы управления необходимо учитывать все источники возникновения ошибок в ЦСУ и оценивать меру влияния каждой из ошибок на выходную величину.

Погрешности при анализе целесообразно подразделить в зависимости от порождающих факторов и особенностей проявления на погрешности аппроксимации, трансформированные, вычислительные и параметрические. Погрешность аппроксимаций, возникающая в результате замены исходной функции аппроксимирующей функцией и перехода к дискретному времени. Трансформированные погрешности обусловлены влиянием погрешностей квантования составляющих вектора входных данных при аналого-цифровом преобразовании. Вычислительные погрешности реализации алгоритма определяются суммарным влиянием погрешностей округления на точность окончательных результатов вычислений. Параметрические погрешности связаны с погрешностями квантования констант вычислительных алгоритмов. Погрешности аппроксимации, трансформированные, вычислительные и параметрические определяют точностные характеристики ЦСУ. Однако погрешности аппроксимации связаны с предварительным преобразованием алгоритма и зависят от технических характеристик системы косвенным образом, а все остальные погрешности непосредственно определяются параметрами системы.