Генерирование корреляционных случайных процессов методом фильтрации

K(p) g(t)

y(t)

x(t)

x(t) – независимый случайный процесс(СП) (Белый шум).

Его корреляционная функция:

; δ – символ Кронекера

Автокорреляционная функция выходного процесса с точностью до постоянного коэффициента σ_x² совпадает с автоковариационной функцией импульсной характеристики фильтра.

K(z) g[n]

y[n∆t]

x[n∆t]

Используются цифровые фильтры

∆t – интервал дискретизации

Метод скользящего суммирования

x[n∆t]→x_n

Отсчет входного процесса

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇

y₃= x₁+x₂+x₃

s w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:den></m:f></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Этот метод используется, для генерирования случайного процесса с корреляционной функцией, ограниченной по времени.

l

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEABWrFgcQA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPS0vDQBC+C/0PyxR6s5tYkBK7LaIWevBRawt6G7Nj EszOht1pGv+9KxS8zcf3nMVqcK3qKcTGs4F8moEiLr1tuDKwf1tfzkFFQbbYeiYDPxRhtRxdLLCw /sSv1O+kUimEY4EGapGu0DqWNTmMU98RJ+7LB4eSYKi0DXhK4a7VV1l2rR02nBpq7OiupvJ7d3QG 2vcYHj8z+ejvqyfZvujj4SF/NmYyHm5vQAkN8i8+uzc2zc9n8PdMukAvfwEAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAVqxYHEAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt"> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAioNd9cQA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPS0vDQBC+C/0PyxR6s5tIkRK7LaIWevBRawt6G7Nj EszOht1pGv+9KxS8zcf3nMVqcK3qKcTGs4F8moEiLr1tuDKwf1tfzkFFQbbYeiYDPxRhtRxdLLCw /sSv1O+kUimEY4EGapGu0DqWNTmMU98RJ+7LB4eSYKi0DXhK4a7VV1l2rR02nBpq7OiupvJ7d3QG 2vcYHj8z+ejvqyfZvujj4SF/NmYyHm5vQAkN8i8+uzc2zc9n8PdMukAvfwEAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAIqDXfXEAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt"> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA5c/4bsQA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPS0vDQBC+C/0PyxR6s5sIlRK7LaIWevBRawt6G7Nj EszOht1pGv+9KxS8zcf3nMVqcK3qKcTGs4F8moEiLr1tuDKwf1tfzkFFQbbYeiYDPxRhtRxdLLCw /sSv1O+kUimEY4EGapGu0DqWNTmMU98RJ+7LB4eSYKi0DXhK4a7VV1l2rR02nBpq7OiupvJ7d3QG 2vcYHj8z+ejvqyfZvujj4SF/NmYyHm5vQAkN8i8+uzc2zc9n8PdMukAvfwEAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAOXP+G7EAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt"> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAFR1mGcMA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPyWrDMBC9F/oPYgq9NbJ7CMWJEkoXyCFdskFym1hT 29QaGWniuH9fFQq5zeOtM50PrlU9hdh4NpCPMlDEpbcNVwa2m9e7B1BRkC22nsnAD0WYz66vplhY f+YV9WupVArhWKCBWqQrtI5lTQ7jyHfEifvywaEkGCptA55TuGv1fZaNtcOGU0ONHT3VVH6vT85A u49heczk0D9Xb/L5oU+7l/zdmNub4XECSmiQi/jfvbBpfj6Gv2fSBXr2CwAA//8DAFBLAQItABQA BgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5yZWxz UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFwZXht bC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAFR1mGcMAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJzL2Rv d25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIgDAAAAAA== " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt"> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAelHDgsQA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPS0vDQBC+C/0PyxR6s5t4qCV2W0Qt9OCj1hb0NmbH JJidDbvTNP57Vyh4m4/vOYvV4FrVU4iNZwP5NANFXHrbcGVg/7a+nIOKgmyx9UwGfijCajm6WGBh /Ylfqd9JpVIIxwIN1CJdoXUsa3IYp74jTtyXDw4lwVBpG/CUwl2rr7Jsph02nBpq7OiupvJ7d3QG 2vcYHj8z+ejvqyfZvujj4SF/NmYyHm5vQAkN8i8+uzc2zc+v4e+ZdIFe/gIAAP//AwBQSwECLQAU AAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8ucmVs c1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hhcGV4 bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAHpRw4LEAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACJAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

0,25

0,5

0,75

R(l)

Пример:

Найти a₀, a₁, a₂, a₃

Составим систему уравнений:

Z^-1

a0

Z^-1

a1

Z^-1

a2

a3

xn

yn

Элемент задержки

Для изображений используем Z-преобразование

Z^-1

Z^-1

b1

Z^-1

b2

bm

xn

m элементов задержки

yn

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAtnMONcYA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQWvCQBSE7wX/w/KE3uqmKqGkriJaqwcvJh7i7ZF9 zYZm34bsVuO/7xaEHoeZ+YZZrAbbiiv1vnGs4HWSgCCunG64VnAudi9vIHxA1tg6JgV38rBajp4W mGl34xNd81CLCGGfoQITQpdJ6StDFv3EdcTR+3K9xRBlX0vd4y3CbSunSZJKiw3HBYMdbQxV3/mP VbAtPuausPmxOsxOn+vUlJdyXyr1PB7W7yACDeE//GgftILpPIW/M/EIyOUvAAAA//8DAFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10u eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5y ZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFw ZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAtnMONcYAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIsDAAAAAA== " filled="f">

+

Если требуется сгенерировать случайный процесс, у которого корреляционная функция имеет бесконечную протяженность по времени, то используют рекурсивный фильтры, простейший из которых авторегрессионный фильтр.

Это рекурсивный фильтр.

+

b1

z^-1

xn

yn

Рассмотрим частный пример АР-фильтра 1-ого порядка.

Импульсную характеристику можно построить непосредственно, как реакцию фильтра на единичный фильтр.

n

g[n]

Найдем корреляционную функцию переходного процесса как ковариационную функцию импульсных характеристик.

 

l

Выбор b₁ ограничен требованиями устойчивости фильтра, согласно правилу устойчивости дискретных систем корни знаменателя передаточной функции должны находиться внутри окружности с радиусом 1.

z- b₁=0 → z= b₁→ | b₁|<1 → -1<b₁<1

Фильтр 1-ого порядка позволяет генерировать случайные процессы с автокорреляционной функцией 2 типов:

1.
Монотонноспадающей 0<b<1

 

2. L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAbPJvdMcA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQUvDQBSE74X+h+UJvbWbWpESuy1SLXhQW9sKentm n0kw+zbsvqbx37uC4HGYmW+Yxap3jeooxNqzgekkA0VceFtzaeB42IznoKIgW2w8k4FvirBaDgcL zK0/8wt1eylVgnDM0UAl0uZax6Iih3HiW+LkffrgUJIMpbYBzwnuGn2ZZdfaYc1pocKW1hUVX/uT M9C8xfD4kcl7d1c+yW6rT6/302djRhf97Q0ooV7+w3/tB2tgNruC3zPpCOjlDwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAGzyb3THAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt"> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAA77K78cA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQUvDQBSE74X+h+UJvbWbWpQSuy1SLXhQW9sKentm n0kw+zbsvqbx37uC4HGYmW+Yxap3jeooxNqzgekkA0VceFtzaeB42IznoKIgW2w8k4FvirBaDgcL zK0/8wt1eylVgnDM0UAl0uZax6Iih3HiW+LkffrgUJIMpbYBzwnuGn2ZZdfaYc1pocKW1hUVX/uT M9C8xfD4kcl7d1c+yW6rT6/302djRhf97Q0ooV7+w3/tB2tgNruC3zPpCOjlDwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAO+yu/HAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt"> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA82xUmMYA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQUvDQBSE7wX/w/IEb+2mLRSJ3RbRCh5srbEFvT2z zySYfRt2X9P4711B8DjMzDfMcj24VvUUYuPZwHSSgSIuvW24MnB4fRhfg4qCbLH1TAa+KcJ6dTFa Ym79mV+oL6RSCcIxRwO1SJdrHcuaHMaJ74iT9+mDQ0kyVNoGPCe4a/UsyxbaYcNpocaO7moqv4qT M9C+xfD0kcl7f19tZf+sT8fNdGfM1eVwewNKaJD/8F/70RqYzxfweyYdAb36AQAA//8DAFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10u eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5y ZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFw ZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA82xUmMYAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIsDAAAAAA== " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt"> L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAnCDxA8cA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQUvDQBSE74X+h+UJvbWbWtASuy1SLXhQW9sKentm n0kw+zbsvqbx37uC4HGYmW+Yxap3jeooxNqzgekkA0VceFtzaeB42IznoKIgW2w8k4FvirBaDgcL zK0/8wt1eylVgnDM0UAl0uZax6Iih3HiW+LkffrgUJIMpbYBzwnuGn2ZZVfaYc1pocKW1hUVX/uT M9C8xfD4kcl7d1c+yW6rT6/302djRhf97Q0ooV7+w3/tB2tgNruG3zPpCOjlDwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJwg8QPHAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">
Колебательной -1<b<0

 

Больший выбор типов корреляционной функции будет, если взять АР-фильтр 2-ого порядка, который позволяет получить корреляционные функции колебательные с регулируемым периодом и скоростью спадания.

Еще большее разнообразие АКФ можно получить, используя АРСС-фильтр – авторегрессионный и скользящего среднего.

 

Z^-1

Z^-1

b1

Z^-1

b2

bm

xn

yn

а0

a2

a1

ak

+