Множество геометрических векторов.

Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек. Начало вектора также называется точкой его приложения.

Замечание. Упорядоченным множеством называется множество элементов, взятых в определенном порядке. Обозначать векторы принято одним из следующих способов: (А – начальная точка, В – конечная точка), , , и т.д. Чтобы отличить векторную величину от скалярной величины, сверху используется черта (или стрелочка). Скалярной называется величина, характеризующаяся только своим численным значением (примеры: объем, температура, масса и т.д.). Для описания других объектов необходимо задавать не только их численное значение, но и направление (сила, скорость и т.д.); такие объекты называются векторными величинами.

Нулевым вектором или нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Замечание. Направление нулевого вектора не определяется (считается произвольным). Нуль-вектор будем обозначать .

Длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора называется расстояние между его началом и его концом. Обозначение: . Естественно, .

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых. Иными словами, векторы коллинеарны, если существует прямая, которой они параллельны. Коллинеарность обозначается символом параллельности: . Нуль-вектор коллинеарен любому другому вектору, так как он не имеет определенного направления: .

Ненулевые коллинеарные вектора, могут быть:

a) сонаправленными (имеющими одинаковое направление), что мы будем обозначать ;

б) противоположно направленными (имеющими противоположное направление), что мы будем обозначать .

Замечание. Отметим очевидные свойства отношений сонаправленности и противоположно направленности:

1. Если , , то ;

2. Если , , то ;

3. Если , , то ;

4. Если , , то .

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины.

Замечание 1. Все нулевые векторы равны между собой.

Замечание 2. Введем понятия связанного, скользящего и свободных векторов. Связанным называется вектор, имеющий фиксированное начало и конец. Скользящим вектором называется множество всех связанных векторов, равных данному, начала которых расположены на одной и той же прямой. Свободным вектором называется множество всех связанных векторов, равных данному. Таким образом, скользящий вектор может быть перенесен вдоль прямой, на которой он лежит, а свободный вектор может быть отложен из любой заданной точки. Понятие свободного вектора является наиболее общим, так как любой связанный или скользящий вектор может быть представлен в виде разности двух свободных векторов.

Ортом, или единичным вектором, называется вектор, длина которого равна единице.

Ортом вектора называется единичный вектор, сонаправленный с вектором . Орт вектора будем обозначать .

Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, на которых расположены данные векторы.

Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых, называются ортогональными.

Вектор, имеющий одинаковый модуль с вектором и противоположно направленный ему, будем называть противоположным вектору и обозначать . Если , то .

 

2. Линейные операции над векторами.

Линейными операциями над векторами назовем операции сложения двух векторов и умножения вектора на скаляр (число).

Суммой двух векторов и назовем вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .

Правила сложения векторов:

а) Правило треугольника (Рис. 1)

Вектор прикладывается к концу вектора . Тогда сумма векторов будет вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .

б) Правило параллелограмма (Рис.2)

Строим на векторах и параллелограмм. Тогда суммой векторов будет диагональ параллелограмма,

выходящая из общего начала векторов и .

Замечание. Правило треугольника легко распространить на случай большего количества суммируемых

векторов. В этом случае это правило называется

правилом многоугольника (Рис. 3).

Обозначим множество свободных векторов через .

Теорема. (Свойства операции сложения векторов)

1. , (коммутативность);

2. (ассоциативность);

3. ;

4. .

Доказательство:

1. Рассмотрим сумму векторов и , используя правило параллелограмма. Из Рис. 4

2. Из Рис. 1.5.

3. Третье свойство очевидно:

4. Пусть Положим Тогда

Ч.т.д.

Разностью двух векторов и назовем вектор , для которого .

Правило вычитания векторов.

Разностью векторов двух векторов и является вектор , идущий из конца второго вектора в конец первого вектора (Рис.6).

 

Замечание. Очевидно, что .

 

Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;
2. ;
3. при и при .

Теорема. (Критерий коллинеарности двух векторов).

Для того, чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число , что .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть . Рассмотрим вектор , где число выберем следующим образом: если , то ; если ,то . Очевидно, , так как и . Таким образом, мы указали число , для которого .

Достаточность.

Если , то из определения, очевидно, вытекает коллинеарность векторов и .

Ч.т.д.