Практика 17 (18 ноября у обеих групп)

Задача 1. Найти предел .

Решение. В этом случае можно с помощью замены преобразовать так, что будут только целые степени, а для получившихся многочленов уже можно искать корни и проводить разложение на множители.

НОК(2,3) = 6. Если обозначим , то:

, .

При этом, если , то и тоже стремится к 1.

* Такое совпадение при замене переменной бывает далеко не всегда, а лишь в частных случаях, а обычно надо пересчитать, возможно новая переменная стремится к другому числу. Например, если и , то .

Итак, = = (для удобства сделали, чтобы многочлены начинались со старшей степени). Далее,

= = = .

При этом даже нет необходимости делать обратную замену и возвращаться к старой переменной.

Ответ. .

Тема «1-й замечательный предел».

Задача 2. Найти предел .

Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.

= = = = .

Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности если переобозначить .

Ответ. .

Задача 3. Найти предел .

Решение. = = = 5.

Ответ. 5.

 

Задача 4. Найти предел .

Решение. = =

= =

= 24.

Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть .

Ответ. 24.

Задача 5. Найти предел .

Решение. Эту задачу можно решить как с применением тригонометрической формулы, так и методом Лопиталя.

Способ 1. Вспомним формулу . Получается

= = = 2.

Способ 2. = = = 2.

Ответ. 2.

 

Задача 6. Найти предел .

Решение. Чтобы устранить разность, как всегда, домножим и поделим на сопряжённое.

= =

= =

= .

это мы применили формулу понижения степени, а ту часть, которая стремится к 0, вычислили сразу, этот коэффициент теперь так и будет оставаться до ответа. Теперь заменим каждую из бесконечно-малых на эквивалентную.

= = =

= . Ответ. .

Замечания. Начиная с того места, где мы получили можно было сделать и другими способами.

Способ 2. По правилу Лопиталя. = = = .

Способ 3. Домножить на сопряжённое.

= =

= = .

Способ 3-а. Представить квадрат синуса в знаменателе в виде и тогда получается разбиение на 2 сопряжённых: = = = = .

Задача 7. Найти предел .

Решение. = =

= . Введём замену

Тогда = = = .

Ответ. 1.

Замечание. Почему выражение мы здесь не домножаем на сопряжённое, а делали методом Лопиталя. Тогда получилось бы = , то есть в таких выражениях, в отличие от иррациональностей, формулу сокращённого умножения и структуру применять бесполезно, потому что это даёт точно такое же выражение, стремящееся к .

Задача 8. Найти предел .

Решение.

Способ 1. С помощью замены на эквивалентную бесконечно-малую.

Можно выделить 1 под знаком логарифма, получить выражение типа . Затем воспользоваться эквивалентностью

= = =

= 6.

Способ 2. По правилу Лопиталя = = 6.

Ответ. 6.

 

Задача 9. Найти предел .

Решение. Методом Лопиталя = = . Но опять получилась неопределённость . Продифференцируем ещё раз = =

= = = 0,32. Ответ. .