Теорема (о промежуточной последовательности).

Доказательство.

Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. . Тогда:

а) - верхняя граница , то есть .

б) - наименьшая из всех границ, то есть .

.

 

Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.

.

(] ] ] ]

0 1/3 1/2 1

 

 

БИЛЕТ 3. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограни­ченность сходящейся последовательности.

Определение: функцию называют числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности.

или ,

= , -общий член.

Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа ( >0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .

 

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

.

< <

< . < .

 

Противоречие.

 

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1 .

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев

 

Замечание: обратное не верно.

 

БИЛЕТ 4. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть , . . Тогда .

Замечание:

.

Доказательство (от противного):

Пусть .

Возьмем .

Обозначим

.

 

- противоречие.

Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .

= , = , .

Теорема (о промежуточной последовательности).

Пусть , и . Тогда существует .

Замечание:

().

Доказательство:

Возьмем произвольный .

 

. Тогда . . ( ).

.

 

 

Ограниченность.

 

-биноминальный коэффициент.

+ <

Монотонность.

+ .

 

 

…

.

По теореме о монотонности последовательности - сходится.

 

 

 

БИЛЕТ 9. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема о частичных пределах сходящейся подпоследовательности.

 

Определение: Пусть дана некая последовательность . Из элементов этой последовательности извлечем другую последовательность , где последовательность -номера элементов исходной последовательности, причем Тогда последовательность - подпоследовательность последовательности .

 

Замечание: Элементы подпоследовательности выбираются в порядке их следования в исходной последовательности. .

 

Определение: Если , то - частичный предел последовательности .

 

Теорема (о частичных пределах сходящейся подпоследовательности): Пусть , тогда .

 

Доказательство:

Возьмем произвольный , тогда .

Возьмем произвольную . Обозначим . Тогда имеем:

. Таким образом:

.

 

Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.

 

БИЛЕТ 10. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Т.обр.

., то есть

 

 

 

БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.

 

Теорема: Пусть и , тогда .

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Пусть , и . Тогда

Возьмем произвольный , , , причем .

(по теореме о предельном переходе в неравенство) .

Теорема: Пусть , и

. Тогда существует . Возьмем произв. ,

, , причем

сущ. .

Теорема (об отделимости от нуля): Пусть , : .

Доказательство:

.

Возьмем , тогда

, , .

 

БИЛЕТ 14. Теорема об арифметике пределов функций.

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). = ( - постоянная).

3). * .

4). , если .

Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как = . Поэтому в силу равенства = получим:

 

1). = .

2). = =

3). = * .

4). = .

 

БИЛЕТ 15. Первый замечательный предел.

 

Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим

или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0; ), верно для любого из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это неравенство.

 

Докажем, что

() при

А раз и , то .

 

Кроме того: = 1

 

 

БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.

 

.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

 

	1/2	1/3	1/4	0.01	0.001
	2.25	2.37…	2.44…	2.7047…	2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

 

Доказательство:

Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:

По определению Гейне:

=

=

Вычислим . Рассмотрим = = .

 

По определению Гейне рассмотрим .

*

 

 

То есть = = = .

 

Также = = = =

 

1

 

БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

 

Определение: бесконечно малая функция при , если .

Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда:

1) и эквивалентны при ( ~ , ), если .

2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .

( = (), ), если .

4). имеет -й порядок малости относительно при , если .

5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .

 

Примеры:

1). при .

2). (, -бесконечные малости одного порядка).

3). ( )

1 0

4). …

()- 2-й порядок малости относительно при .

 

5).

- произвольная.

БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквива­лентные.

 

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть , -бесконечно малые функции при .

- . Тогда ~ при .

 

Доказательства:

(). Пусть ~ , , то есть .

=0,

то есть .

 

(). ., .

=1.

 

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

 

= * * = .

1 1

 

БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства не­прерывных функций.

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

.

Свойства непрерывных функций:

 

Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .

 

Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда