Уравнение прямой на плоскости,

Уравнение прямой на плоскости,

Проходящей через данную точку параллельно заданному вектору

Пусть – фиксированная точка плоскости, – ненулевой вектор. Тогда уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку параллельно вектору (рис. 1), в векторной форме запишется так:

(1)

 

где параметр принадлежит множеству действительных чисел; – произвольная точка этой прямой; – (в данном случае) направляющий вектор полученной прямой.

Рис. 1

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Перепишем уравнение (1) в координатной форме:

(1а)

Выполнив элементарные преобразования, получим параметрические уравнения прямой:

(2)

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Исключив из системы уравнений (2) параметр t, получим каноническое уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку параллельно вектору

(3)

Уравнение прямой на плоскости,

Проходящей через две заданные точки

Предположим, что на плоскости заданы две различные точки: и В этом случае вектор будет направляющим вектором единственной прямой, проходящей через две заданные точки, каноническое уравнение такой прямой запишем в виде:

(4)

Общее уравнение прямой на плоскости

Используя свойство пропорции, преобразуем уравнение (4):

(4а)

Раскроем скобки и перепишем уравнение (4а), введя следующие обозначения: в результате чего получим:

Ax + By + C = 0.

(5)

Утверждение 1. Если в уравнении (5) или то уравнение (5) на плоскости определяет некоторую прямую и называется при этом общим уравнением прямой на плоскости.

Уравнение прямой «с угловым коэффициентом»

Из общего уравнения прямой (5) легко получить уравнение вида

(6)

т. е. уравнение прямой на плоскости «с угловым коэффициентом », где tg ( – угол, образованный данной прямой с положительным направлением оси абсцисс). Величина b в уравнении (6) называется начальной ординатой, так как это число по абсолютной величине равно длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. Если прямая проходит через начало координат то

 

Особые случаи расположение прямой на плоскости

Исследуем общее уравнение прямой (5):

1) при прямая проходит через начало координат;

2) при прямая параллельна оси Ох;

3) при прямая параллельна оси Оу;

4) при получаем уравнение оси Оу;

5) при получаем уравнение оси Ох.

Построение прямой на плоскости.

Нормальное уравнение прямой

Пусть – фиксированная точка плоскости, – вектор, заданный своими направляющими косинусами, тогда уравнение вида задает прямую на плоскости, проходящую через точку перпендикулярно вектору , который называется нормальным вектором этой прямой. Запишем скалярное произведение вектора и вектора в координатной форме:

(8)

Теперь, введя обозначение получим нормальное уравнение прямой:

(9)

 

Рис. 3

где – угол наклона перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую, к оси Ох; – угол наклона этого перпендикуляра к оси Оу (рис. 3). Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0может быть приведено к нормальному виду при умножении его на нормирующий множитель

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена.

Полярные параметры прямой

Полярными параметрами можно задать положение всякой прямой на плоскости.

Рис. 4

Полярным расстоянием прямой (рис. 4) называется длина p перпендикуляра ОК, опущенного на прямую из начала координат О. Полярное расстояние может быть положительным или равным нулю (). Полярным углом прямой называется угол между положительным направлением

оси Ох и перпендикуляром, опущенным на прямую из начала координат. Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой. При этом нормальное уравнение прямой можно записать в виде:

(10)

 

2. ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ: ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

Утверждение 2. Пусть на плоскости заданы две прямые: и В этом случае выполняется одно и только одно из трех условий:

1) прямые не имеют общих точек при этом система линейных алгебраических уравнений несовместна (имеет пустое множество решений);

2) прямые имеют единственную общую точку при этом система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение которое может быть найдено, например, по формулам Крамера:

(11)

(12)

 

3) прямые совпадают при этом система линейных алгебраических уравнений не определена (имеет бесконечно много решений).

Пучок прямых

Через одну фиксированную точку (рис. 6) на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Это множество называется цент-ральным пучком (пучком) прямых, а точка называется центром пучка. Каждую из прямых пучка (кроме той, которая параллельна оси

ординат) можно представить уравнением:

(17)

 

где tg – угловой коэффициент прямой (см. рис. 6). Уравнение вида (17) называется уравнением пучка прямых с центром в точке

Рис. 6

Угол между прямыми

Если пара прямых на плоскости задана общими уравнениями: (рис. 7, прямая f) и (рис. 7, прямая g), то косинус угла между этими прямыми может быть вычислен по формуле:

Рис. 7

 

(18)

Если пара прямых на плоскости задана уравнениями «с угловым коэффициентом»: и , то тангенс угла между этими прямыми рассчитывается по уравнению:

tg

(19)

Если пара прямых на плоскости задана своими каноническими уравнениями: и то косинус угла между этими прямыми определяется по формуле:

(20)

Варианты типового расчета «Прямая на плоскости»

Задание 1.Указать особенности в расположении прямых на плоскости (прямая общего положения, проходящая или не проходящая через начало координат; прямая, параллельная оси Ох или Оу) и сделать чертеж. Уравнения заданных прямых по вариантам представлены в табл. 1.

Таблица 1

Данные к заданию 1

Вариант	Данные прямые	Вариант	Данные прямые
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)

 

Окончание табл. 1

 

	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)

Задание 2.Выбрать из имеющегося списка прямых на плоскости (табл. 2) пары: а) пересекающихся прямых; б) совпадающих прямых; в) прямых, не имеющих общих точек.

 

Таблица 2

Данные к заданию 2

Вариант	Данные прямые	Вариант	Данные прямые
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)

 

Продолжение табл. 2

 

	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)

 

Окончание табл. 2

 

	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)

Задание 3.Две точки на плоскости заданы координатами: и , – некоторый угол (табл. 3). Составить: 1) уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы; 2) уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью абсцисс угол .

Таблица 3

Данные к заданию 3

Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные
	30º		60º
	45º		90º
	75º		120º
	135º		150º
	30º		60º
	45º		90º
	75º		120º
	135º		150º
	30º		60º
	45º		90º
	75º		120º
	135º		150º
	30º		60º
	45º		90º

 

Окончание табл. 3

 

	75º		120º

Задание 4. Дано общее уравнение прямой (табл. 4), записать для нее следующие виды уравнений:

1) каноническое

2) параметрические

3) «с угловым коэффициентом»

4) «в отрезках»

5) нормальное

Построить заданную прямую в системе координат хОу.

Таблица 4

Данные к заданию 4

Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные

Окончание табл. 4

 

Задание 5. Даны прямые и точка М (табл. 5). Составить уравнения прямых, проходящих: 1) через точку М параллельно прямой l; 2) через точку М перпендикулярно прямой l.

Найти угол между прямыми и и расстояние d от точки М до прямой l.

Таблица 5

Данные к заданию 5

Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные

 

Продолжение табл. 5