Физические основы подземной гидромеханики

ОБОЗНАЧЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ

СИ – международная метрическая система единиц;

ТС – техническая (промысловая) система единиц.

Обозначение	Название	Размерности
СИ	ТС
B	ширина пласта	м	см
dэ	эффективный диаметр	м	см	1м=100см
g	ускорение свободного падения	м/с^2	см/с^2
G	массовый расход (дебит)	кг/с	кГ/с	G=Q* ρ
fo	параметр Фурье для призабойной зоны
Fo	параметр Фурье для пласта
Ei(-u)	интегрально-показательная функция
h	эффективная толщина пласта	м	см
k	абсолютная проницаемость	м^2=10^6мкм^2	д (дарси)	1д»1 мкм^2=10^-12м^2
kf	фазовая проницаемость	м^2=10^6мкм^2	д (дарси)
`k	относительная проницаемость	%; доли единицы
Обозначение	Название	Размерности
СИ	ТС
К	коэффициент продуктивности
J(s)	безразмерная функция Леверетта
m	пористость	%; доли единицы
mт	трещиноватость	%; доли единицы
ms	просветность	%; доли единицы
р	давление	Па (паскаль) =н/м^2	атм. (атмосфера)	1 атм.=10^5Па
rk	радиус контура	м	см
rc	радиус скважины	м	см
Re	параметр Рейнольдса			Re=u*d* ρ / m
Sуд	удельная поверхность	м^2/м^3	см^2/см^3	1 м^2/м^3=10^-2 см^2/см^3
t	время	с (секунда)	с
T	температура	^оК	^оК	1^оК=1^оС+276
Q	объёмный расход (дебит)	м^3/с	см^3/с
u	скорость фильтрации	м/с	см/с	u=w m
w	действительная скорость жидкости	м/с	см/с
Обозначение	Название	Размерности
СИ	ТС
b f	коэффициент объёмной упругости жидкости	1/Па	1/атм.
b c	коэффициент объёмной упругости пласта	1/Па	1/атм.
b^*	коэффициент упругоёмкости пласта	1/Па	1/атм.	b ^*=m0 b f + b c
s i	насыщенность порового пространства i –й фазой
j	потенциал
dт	раскрытость (ширина трещины)	м	см
d рк= р2-р1	капиллярное давление	Па	атм.	1 атм.=10^5Па
Dрк= =рk-рc	депрессия	Па	атм.	1 атм.=10^5Па
Dt з	упругий запас	м^3	см^3	Dt з= b^* Vп D рк; Vп – объём пласта
μ	коэффициент динамической вязкости	Па*с	спз (сантипуаз)	1спз=0,01пз= =10^-3Па*с
r	плотность	кг/м^3		кГ(кг-сила)
g	удельный вес		кГ/см^3	g=ρ g
Обозначение	Название	Размерности
СИ	ТС
æ	кэффициент пьезопроводности пласта	м^2/с	см^2/с	– упругая жидкость: æ^/= –газ
t	касательное напряжение	Па	атм.
Гт	густота трещин	1/м	1/см
индекс c	параметры забоя скважины
индекс k	параметры контура
индекс ct	параметры при стандартных физических условиях – р=1 атм., Т=0^оС
индекс f	жидкость
индекс сг	свободный газ
индекс гр	газ в растворе

ВВЕДЕНИЕ

Подземная нефтегазовая гидромеханика (ПГМ) – наука о движении нефти, воды, газа и их смесей по коллекторам. Коллектора –это горные породы, которые могут служить хранилищами нефти, газа, воды и отдавать их при разработке. Жидкость, газ, смесь жидкости и газа, то есть всякая текучая среда, часто именуется общим термином флюид, если не ставится задача выделить характерные особенности движения данной среды.

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ

 

Понятие о моделировании

 

Особенностью подземной гидромеханики является одновременное рассмотрение процессов в областях, характерные размеры которых различаются на порядки – от микрометров (размеры пор и трещин) до десятков и сотен километров (протяженность месторождений). Кроме того, неоднородность пластов (по толщине и площади) имеет характерные размеры практически любого масштаба.

Указанные неоднородности по строению залежей, а также значительная широта фациального состава коллекторов и сложный нерегулярный характер структуры порового пространства обуславливают ограниченность и приближенность сведений о пласте и флюидах, полученных в результате геологических и геофизических исследований. Таким образом, исследование пластов невозможно без абстрактного (математического) и физического (лабораторного) моделирования.

 

При абстрактном моделировании реальные процессы описываются некоторой математической моделью, полученной на основе осреднения характерных параметров по времени, пространству и статистической выборке. Это осреднение позволяет перейти от дискретных распределений к непрерывным и, следовательно, использовать хорошо разработанные методы механики сплошных сред и дифференциального исчисления.

Математическое моделирование предполагает использование целого ряда зависимостей, позволяющих в той или иной мере отожествить математическую модель с реальными физическими средами и процессами.

В силу разнообразия реальных сред, процессов и огромного числа взаимосвязанных факторов для получения данных зависимостей в подземной гидромеханике широко используется физическое моделирование, основанное на теории подобия.

Адекватность абстрактных и физических моделей реальным процессам требует выполнения некоторых требований при их построении:

· полнота – содержание достаточного числа признаков реального объекта;

· непротиворечивость – включенные признаки не должны противоречить друг другу;

· реализуемость – построенная математическая модель должна допускать аналитическое или численное решение, а физическая – реализацию в искусственных условиях;

· компактность и экономичность – процессы сбора информации, подготовка и реализация модели должны быть максимально просты, обозримы и экономически целесообразны.

При моделировании пластов и фильтрационных процессов необходимо помнить о принципиальной невозможности достижения точного количественного описания, и, следовательно, основная задача исследования заключается в установлении качественных закономерностей, устойчивых тенденций, а также количественных соотношений, устойчивых к вариации исходных данных. Целью моделирования является не столько точное определение всех характеристик процесса, сколько расширение той совокупности сведений, которые учитываются при выборе системы разработки или метода воздействия на пласт. При этом уточнение и коррекция данных сведений возможны только на основе анализа последующего поведения пласта. Решающую роль играет постановка задачи и такой анализ результатов ее реализации, который позволяет сделать некоторые общие заключения. Следует иметь в виду, что усложнение модели путем увеличения признаков сверх определяющих основные закономерности может привести не к увеличению точности, а к получению качественно неверных результатов.

Модели флюидов

 

По степени сжимаемости. Природный газ способен значительно изменять свой объём при изменении давления, вода и нефть в довольно значительном диапазоне давлений (приблизительно до 20МПа) практически несжимаемы, а при высоких давлениях обладают упругими свойствами. В связи с указанными факторами различают модели сжимаемой, несжимаемой и упругой среды. Построение каждой из указанной модели требует привлечения эмпирических уравнений состояния – соотношений, связывающих изменение объёма с изменением давления.

Гомогенные и многофазные модели. В области контакта флюидов при вытеснении одного другим или при выделении одного флюида из другого в каждом микрообъёме содержится два или больше флюидов, занимающих отдельные четко различимые объёмы (пузырьки газа в жидкости, капли или плёнки в газе) и взаимодействующих на поверхностях раздела. Такие системы называют многофазными (двух, трёх и т.д.), в отличие от многокомпонентных смесей (природный газ, нефть), в которых взаимодействие происходит на молекулярном уровне, и поверхности раздела выделить нельзя. В гидродинамике такие среды называют однофазными или гомогенными.

Ньютоновские и неньютоновские жидкости. В процессе движения флюиды испытывают различные деформации (сжатие, кручение, растяжение и т.д.) при изменении нагрузки (трение соседних объёмов, внешние силы), которая, отнесённая к единице площади, получила название напряжения. Само соотношение, связывающее деформацию или скорость изменения деформации с напряжением, называется реологическим соотношением или законом. Наиболее часто, применительно к жидкостям, для описания действия касательных напряжений t _xy на сдвиговую деформацию применяют соотношение Ньютона , где u_x – скорость в направлении х; у – направление, перпендикулярное х.

Довольно часто движение флюидов не подчиняется данному закону, например, при страгивании пластовой нефти требуется некоторое, отличное от нулевого, напряжение, чтобы разорвать образованные пластовой водой коллоидные структуры. Такие среды называются неньютоновскими, а модель – моделью неньютоновского течения.

Модели коллекторов

 

Моделирование коллекторов и, соответственно, классификация их параметров проводится по трём направлениям: геометрическое, механическое и связанное с наличием жидкости.

Геометрические модели. С геометрической точки зрения, все коллектора можно подразделить на две большие группы: гранулярные (поровые) (рис. 1.1) и трещинные (рис.1.2). Ёмкость и фильтрация в пористом коллекторе определяется структурой порового пространства между зёрнами породы. Для второй группы характерно наличие развитой системы трещин, густота которых зависит от состава пород, степени уплотнения, мощности, структурных условий и так далее.

Чаще всего имеют место коллектора смешанного типа, для которых ёмкостью служат трещины, каверны, поровые пространства, а ведущая роль в фильтрации флюидов принадлежит развитой системе микротрещин, сообщающих эти пустоты между собой. В зависимости от вида путей фильтрации или главных вместилищ флюида различают коллектора: трещинно-пористые, трещинно-каверновые и т.д. При этом первая часть в названии определяет вид пустот, по которым происходит фильтрация.

С целью количественного описания фильтрационно - ёмкостных параметров реальные сложные породы заменяют идеализированными моделями.

Рис. 1.3. Слепок поровых каналов сцементированного песчаника

Идеализированные модели пористых сред. Реальные горные породы имеют очень сложную геометрию (рис.1.3) порового пространства или трещин. Кроме того, размеры частиц гранулярных коллекторов или трещин в трещиноватых породах меняются в очень широких пределах – от микрометров до сантиметров. Естественно, что математическое описание течения через столь хаотическую структуру невозможно и, следовательно, необходима некоторая идеализация структуры.

 

Рис. 1.4. Элемент фиктивного грунта

Фиктивный грунт – среда, состоящая из шариков одного размера, уложенных во всем объёме пористой среды одинаковым образом по элементам из восьми шаров в углах ромбоэдра (рис.1.4). Острый угол раствора ромбоэдра a меняется от 60 до 90^о. Наиболее плотная укладка частиц при a =60^о и наименее плотная при a=90^о (куб)

С целью более точного описания реальных пористых сред в настоящее время предложены более сложные модели фиктивного грунта: с различными диаметрами шаров, элементами не шарообразной формы и так далее.

Идеальный грунт – среда, состоящая из трубочек одного размера, уложенных одинаковым образом по элементам из четырех трубочек в углах ромба. Плотность укладки меняется от угла раствора ромба.

Идеализированные модели трещинно-пористых сред. Трещинно-пористые коллекторы рассматриваются как совокупность двух разномасштабных пористых сред (рис.1.2): системы трещин (среда 1), где пористые блоки играют роль “зёрен”, а трещины – роль извилистых “пор” и системы пористых блоков (среда 2).

В простейшем случае трещинный пласт моделируется одной сеткой горизонтальных трещин некоторой протяженности (рис.1.5), причём все трещины одинаково раскрыты и равно отстоят друг от друга (одномерный случай).

Рис.1.5. Схема одномерной Рис.1.6 Схема пространственной модели трещинной среды модели трещинной среды

В большинстве случаев трещинный пласт характеризуется наличием двух взаимно-перпендикулярных систем вертикальных трещин (плоский случай). Такая порода может быть представлена в виде модели коллектора, расчленённого двумя взаимно-перпендикулярными системами трещин с равными величинами раскрытия dи линейного размера блока породы l. В пространственном случае используют систему трёх взаимно-перпендикулярных систем трещин (рис.1.6).

Механические модели. Реологические модели горных пород. Всякое изменение сил, действующих на горные породы, вызывает их деформацию, а также изменение внутренних усилий – напряжений. Таким образом, динамическое состояние горных пород, как и флюидов, описывается реологическими соотношениями. Обычно реологические зависимости получают в результате анализа экспериментальных данных, натурных исследований или физического моделирования. Если объём пустот не изменяется или изменяется так, что его изменением можно пренебречь, то такую среду можно назвать недеформируемой. Если происходит линейное изменение объёма от напряжения, то такая среда – упругая, иначе ещё её называют кулоновской. К таким средам относятся песчаники, известняки, базальты. В упругих телах при снятии нагрузки объём восстанавливается полностью и линия нагрузки совпадает с линией разгрузки. Многие породы деформируются с остаточным изменением объёма, т.е. линия нагрузки не совпадает с линией разгрузки. Такие породы называются пластичными (глины), текучими (несцементируемые пески) или р азрушаемыми.

Модели по ориентированности в пространстве. Горные породы необходимо разделять по ориентированности изменения их характеристик в пространстве. С этой позиции выделяют изотропные и анизотропные тела. Изотропия – это независимость изменения физических параметров от направления, анизотропия – различные изменения по отдельным направлениям. Понятие ориентированности, применительно к коллекторам, связано с геометрией расположения частиц, трещин. Частицы горной породы могут располагаться хаотически и упорядочно (иметь геометрическую ориентацию). Упорядочные структуры – анизотропны по поверхностным параметрам.

Характеристики коллекторов

 

С точки зрения теории фильтрации значение твердого скелета горной породы, прежде всего, геометрическое – он ограничивает ту область пространства, в которой движется жидкость. Свойства горных пород описываются некоторым набором геометрических характеристик, осредненных по достаточно малому, по сравнению с исследуемым объемом, но содержащему большое число элементов (частиц, пор, трещин).

Параметры пористой среды. Важнейшая характеристика – полная пористость " m_о ", равная отношению объема пор V_п к общему объему элемента V

. (1.1)

В связи с тем, что переток жидкости осуществляется через поверхность, представляется необходимым введение параметра, связанного с площадью. Такой геометрический параметр называется просветностью " m_s " и определяется как отношение площади просветов F_п ко всей площади сечения образца F

. (1.2)

Пользоваться такими поверхностными параметрами практически не представляется возможным, так как в реальных породах они меняются от сечения к сечению и определить их можно только с помощью микроскопического анализа. Следовательно, данные параметры следует заменить объемными, которые можно определить достаточно надежно. Выше отмечалось, что породы можно разделить на два класса: изотропные и анизотропные. Для анизотропных коллекторов с упорядоченной структурой данные параметры нельзя заменять на объемные. Для хаотичных, изотропных сред указанная замена возможна и просветность полагают равной пористости.

В пористой среде есть тупиковые и замкнутые поры, в которых движения жидкости не происходит. В связи с этим, вполне обосновано введение понятия открытой пористости, которая описывается соотношением (1.1), но под V_п понимается объём открытых пор V_пo.

В реальных условиях твердые зерна породы обволакиваются тонкой плёнкой, остающейся неподвижной даже при значительных градиентах давления. В этом случае подвижный флюид занимает объём, меньший V_пo,и, поэтому, наряду с открытой пористостью часто пользуются понятием динамической (эффективной) пористости

, (1.3)

где V_под – объем, занятый подвижной жидкостью.

В дальнейшем, под пористостью мы будем понимать динамическую пористость, кроме специально оговорённых случаев.

Пористость твердых материалов (песок, бокситы и т.д.) меняется незначительно при изменении даже больших давлений, но пористость, например глины, очень восприимчива к сжатию. Так пористость глинистого сланца при обычном давлении равна 0.4 – 0.5, а на глубине 1800м – 0.05. Для газовых и нефтяных коллекторов в большинстве случаев m = 15–22%, но может меняться в широких пределах: от нескольких долей процента до 52%.

Пористость и просветность фиктивного грунта не зависят от диаметра шарообразных частиц, а зависят только от степени укладки. Для реальных сред коэффициент пористости зависит от плотности укладки частиц и их размера – чем меньше размер зёрен, тем больше пористость. Это связано с ростом образования сводовых структур при уменьшении размера частиц.

В идеализированном представлении коэффициент пористости одинаков для геометрически подобных сред; он не характеризует размеры пор и структуру порового пространства. Поэтому для того, чтобы формулы, описывающие фиктивный грунт, можно было применить для описания реальной среды, вводится линейный размер порового пространства, а именно, некоторый средний размер порового канала d или отдельного зерна пористого скелета d.

Рис.1.7. Гистограмма распределения частиц по размерам

Простейшая геометрическая характеристика пористой среды – эффективный диаметр частиц грунта. Определяют его различными способами – микроскопическим, ситовым, осаждением в жидкости (седиментационным) и так далее. Эффективным диаметром частиц d_э, слагающих реальную пористую среду, называют такой диаметр шаров, образующих эквивалентный фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказываемое фильтрующейся жидкости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково. Эффективный диаметр определяют по гранулометрическому составу (рис.1.7), например, по формуле веса средней частицы

, (1.4)

где d_i – средний диаметр i - й фракции; n_i – массовая или счетная доля i - й фракции.

Для того, чтобы привести в соответствие диаметр частиц, определённый ситовым или микроскопическим методами, с гидравлическим, данный диаметр умножают на коэффициент гидравлической формы. Если же диаметры определяются гидродинамическими (седиментационными) методами, то они не требуют указанного уточнения.

Эффективный диаметр является важной, но не исчерпывающей характеристикой пористой среды, потому что он не даёт представления об укладке частиц, их форме. В то же время два образца грунта, имеющих равные эффективные диаметры, но различную форму частиц и структуру укладки, имеют различные фильтрационные характеристики.

Таким образом, для определения геометрической структуры пористой среды, кроме пористости и эффективного диаметра, нужны дополнительные характеристики. Одной из таких характеристик является гидравлический радиус пор R,который связанс диаметром частиц породы.

Динамика фильтрационного течения, в основном, определяется трением флюида о скелет коллектора, зависящего от площади поверхности частиц грунта. В связи с этим, одним из важнейших параметров является удельная поверхность S_уд – суммарная площадь поверхности частиц, содержащихся в единице объёма.

Удельная поверхность нефтесодержащих пород с достаточной точностью определяется формулой

, (1.5)

Среднее значение S_уд для нефтесодержащих пород изменяется в пределах 40 – 230 тыс. м²/м³. Породы с удельной поверхностью большей 230 тыс. м²/м³ непроницаемы или слабопроницаемы (глины, глинистые пески и так далее).

В практике нефтегазодобычи помимо чисто геометрической характеристики доли пустот (пористости) вводят параметры, связанные с наличием нефти, газа или воды:

а) насыщенность – отношение объёма V_f данного флюида, содержащегося в порах, к объёму пор V_п.

. (1.6)

По виду флюида различают нефтенасыщенность, газонасыщенность, водонасыщенность.

б) связанность – отношение объёма, связанного с породой флюида V_fс, к объёму пор

. (1.7)

Важнейшей характеристикой фильтрационных свойств породы является проницаемость. Проницаемость – параметр породы, характеризующий её способность пропускать флюиды. Различают проницаемости: абсолютную, эффективную или фазовую и относительную. Абсолютная проницаемость – свойство породы и не зависит от свойств фильтрующегося флюида и перепада давления, если нет взаимодействия флюидов с породой. Фазовой называется проницаемость пород для данного флюида при наличии в порах многофазных систем. Значение её зависит не только от физических свойств пород, но также от степени насыщенности порового пространства флюидами и их физических свойств. Относительной проницаемостью называется отношение фазовой проницаемости к абсолютной.

Физический смысл проницаемости k заключается в том, что проницаемость характеризует площадь сечения каналов пористой среды, по которым происходит фильтрация.

Для реальных сред радиус пор связан с проницаемостью формулой Котяхова

, (1.8)

где k – д; R – м;j – структурный коэффициент ( j =0.5035/m^1,1 – для зернистых сред).

Проницаемость песчаных коллекторов обычно находится в пределах 100–1000 мд, а для глин характерны значения проницаемости в тысячные доли мдарси. Проницаемость определяется геометрической структурой пористой среды, то есть, размерами и формой частиц, а также системой их упаковки.

Имеется множество попыток теоретически установить зависимость проницаемости от этих характеристик, исходя из закона Пуазейля для ламинарного движения в трубах и Стокса для обтекания частиц при той или иной схематизированной модели пористой среды. Поскольку реальные породы не укладываются в рамки этих геометрических моделей, то теоретические расчеты проницаемости ненадёжны. Поэтому обычно проницаемость определяют опытным путём.

Проницаемость можно рассчитать по известной удельной поверхности:

. (1.9)

Параметры трещинной среды. Аналогомпористости для трещинных сред является трещиноватость m_т или, иначе, коэффициент трещиноватости. Иногда данный параметр называют трещинной пористостью. Трещиноватостью называют отношение объёма трещин V_т ко всему объёму V трещинной среды.

. (1.10)

Для трещинно-пористой среды вводят суммарную (общую) пористость, прибавляя к трещиноватости пористость блоков.

Второй важный параметр – густота. Густота трещин Г_т – это отношение полной длины å l_i всех трещин, находящихся в данном сечении трещинной породы к удвоенной площади сечения F

(1.11)

Из (1.11) следует, что для идеализированной трещинной среды

m_т= a Г d _т, (1.12)

где d _т – раскрытость трещин; a – безразмерный коэффициент, равный 1,2, 3 для одномерного, плоского и пространственного случаев, соответственно.

Для реальных пород значение коэффициента a зависит от геометрии систем трещин в породе.

Для квадратной сетки трещин (плоский случай) Г_т=1 / l_т, где l_т – размер блока породы. Средняя длина трещин l* равняется среднему размеру блока породы и численно обратно пропорциональна густоте

l*=1 / Г_т. (1.13)

В качестве раскрытости (ширины трещины) берут среднюю величину по количеству трещин в сечении F. Среднюю гидравлическую ширину определяют, исходя из гидравлического параметра – проводимости системы трещин.

Трещинный пласт – деформируемая среда. В первом приближении можно считать

, (1.14)

где d _т0 – ширина трещины при начальном давлении р₀;

b *_т= b _п l / d _т0 – сжимаемость трещины; b _п – сжимаемость материалов блоков; l – среднее расстояние между трещинами.

Для трещинных сред l/ d _т >100 и поэтому сжимаемость трещин высока.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

 

.1) На чем базируются построения математических и физических моделей?

2) Основные требования адекватности моделей реальным процессам.

3) Основное требование осреднения параметров по пространству, дающее право считать их непрерывным.

4) Почему в нефтяной гидромеханике процесс фильтрации флюидов можно считать изотермическим?

5) Назовите примеры нестационарных и стационарных процессов в нефтегазовой гидродинамике.

6) Модели флюидов по степени сжимаемости.

7) В чем отличие многофазной модели от гомогенной? Приведите примеры.

8) Определение ньютоновской и неньютоновских жидкостей. Примеры.

9) Виды моделей коллекторов с геометрической точки зрения.

10) Идеализированные модели пористых коллекторов.

11) Трещинно-пористые коллектора и их идеализация.

12) Реологические модели горных пород.

13) Какие среды называются изотропными и анизотропными?

14) Виды пористости и их определения? Размерности.

15) Виды проницаемости и их определения? Размерности в различных системах единиц и их связь между собой.

16) Что такое просветность?

17) Физический смысл проницаемости.

18) Определение эффективного диаметра.

19) Что такое насыщенность и связанность? Чему равна сумма насыщенностей? Размерности.

20) Удельная поверхность – определение, размерность, характерные значения для коллекторов.

21) Определение густоты.

22) Связь раскрытости с давлением.

23) Какой параметр определяется в Па*с?

24) Какой параметр определяется в дарси?

Скорость фильтрации

 

При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида

Q=`w F_п, (2.1)

где `w – действительная средняя скорость жидкости; F_п – площадь пор.

Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для сред неупорядочной структуры справедливо допущение о равенстве просветности и пористости. Следовательно,

Q=`w m F. (2.2)

Величина

u= `w m (2.3)

называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то скорость фильтрации всегда меньше средней.

Физический смысл скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором:

· расход через любое сечение равен реальному расходу,

· поле давлений идентично реальному потоку,

· сила гидравлического сопротивления равна силе сопротивления реального потока.

Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (2.3).

 

Пористая среда

В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации – закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н₁-Н₂ и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F,заполненной пористой средой.

Закон Дарси имеет вид

, (2.9)

где с – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости; – гидравлический напор при пренебрежении скоростным напором; р/ g – пьезометрическая высота.

Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,

(2.10)

или в векторной форме

, (2.11)

где s – расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

Коэффициент фильтрации «с» характеризует среду и жидкость одновременно. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

(2.12)

или

. (2.13)

Из сравнения (2.10) и (2.12) имеем

. (2.14)

Границы применимости закона Дарси. Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

a) скорость фильтрации и градиент давления малы;

b) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=wa r/μ с его критическим значением Re_кр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w –характерная скорость течения: а – характерный геометрический размер пористой среды; r – плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Наиболее часто в нефтегазопромысловой практике применяется зависимость Щелкачёва:

(2.15)

где

Критическое число Рейнольдса Re_кр=1–12.

Скорость фильтрации u_кр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>u_кр соизмеримы с силами трения.

При обработке экспериментальных да