Введение в компьютерное моделирование

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Тематика и уровень лабораторных работ, предлагаемых в данном разделе, соответствуют базовому учебному пособию. Теоретический материал, необходимый для выполнения этих работ, можно найти как в этом пособии, так и в указанной в нем дополнительной литературе.

Цели выполнения работ данного раздела:

• выработка и закрепление практических навыков в освоении методологии компьютерного математического моделирования;

• практическая реализация межпредметных связей;

• освоение элементов самостоятельной научно-исследовательской работы;

• укрепление навыков программирования при реализации практически значимых задач;

• освоение специальных приемов программирования, связанных с моделированием.

Рекомендации по проведению занятий по компьютерному моделированию

Особенность большинства работ данного раздела - отсутствие полных инструкций о ходе выполнения работы и возможность для студента проявить значительную самостоятельность, уточнить (с помощью преподавателя или самостоятельно) постановку задачи, выбрать метод реализации модели, форму представления результатов и т.д. Это придает работам исследовательский характер. Каждую работу можно рассматривать как небольшой проект.

Выполнение работ данного раздела опирается на математический аппарат, входящий в стандартный курс «Численные методы». Задачами студента являются выбор адекватного метода (здесь вполне уместно использование библиотеки стандартных математических программ) и получение достоверного результата с контролем его точности.

Первостепенную важность при выполнении работ по моделированию имеет форма представления результатов. До начала выполнения каждой работы необходимо спроектировать (возможно, с помощью преподавателя) интерфейс пользователя моделирующей программы. Идеальным является наличие нескольких видов отображения результатов моделирования: численного, табличного, графического, динамического, звукового сопровождения и т.д. Некоторые требования по форме представления результатов указаны в инструкциях к работам. Эти требования могут быть дополнены и конкретизированы преподавателями, проводящими занятия; все остальное - на усмотрение студентов.

Важной частью каждой работы является отчет. Он должен быть выполнен в стиле, приближенном к стандартному стилю научно-технического отчета.

Обязательными частями отчета являются:

• постановка задачи;

• математическая модель;

• описание метода исследования модели;

• программа для ЭВМ;

• описание тестирования программы;

• результаты (в различных формах представления);

• содержательный анализ результатов.

Выполнение всех приведенных ниже работ в полном объеме подразумевает вы­деление на лабораторные работы порядка 100 часов (аудиторных и внеаудиторных вместе). Оценка исходит из практического опыта их реализации и из того, что студенты:

• предварительно подготовились к выполнению работы, освоили соответствую­щий теоретический материал;

• имеют практически завершенную математическую модель процесса;

• достаточно свободно владеют математическими методами, необходимыми для выполнения данной работы;

• имеют устойчивые навыки программирования и/или использования необходимых для выполнения данной работы программных средств.

Рекомендации по программному обеспечению при проведении занятий по компьютерному моделированию

При проведении лабораторных работ по компьютерному математическому моделированию можно опираться на различные виды программного обеспечения.

1. Трансляторы с языков высокого уровня.

Соответствующий способ проведения занятий ориентирован на активно программирующих студентов и позволяет наряду с отработкой навыков моделирования углубить программистскую подготовку. Недостаток этого способа - относительно высокая трудоемкость, особенно если речь идет об оформлении диалогового интерфейса, адекватного современным требованиям, предъявляемым к прикладным программам. Этот недостаток может быть устранен, если наряду с язы­ком (типа Паскаль) использовать современные средства визуального программирования (типа Delphi).

2. Офисные пакеты (текстовый редактор и электронные таблицы).

С помощью электронных таблиц (ЭТ) можно произвести моделирование большей части процессов, описанных в данной главе. Текстовый редактор позволит сделать отчет, в который программы, составленные с помощью ЭТ, и результаты моделирования (численные и графические) войдут органично. Недостаток этого способа - не всегда удобно реализовывать достаточно сложные вычислительные алгоритмы в ЭТ.

3. Специальные пакеты для решения математических задач.

Программы типа «MathCad», «Mathematica» и им подобные позволяют обойти трудность, связанную с программированием математических алгоритмов и (частично) представлением результатов моделирования. Это является одновременно и недостатком, так как снижает образовательный эффект от занятий.

4. Специальные пакеты для моделирования соответствующих типов процессов.

К примеру, созданная в ПГПУ среда Model Designer позволяет моделировать процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями (скрывая детали их решения), и отображать результаты моделирования в табличной и графической формах. Подобный способ - самый простой, но высказанное в предыдущем пункте замечание применимо к нему в еще большей мере.

В любом случае работы рассчитаны на самостоятельное выполнение студентами, включая разработку программ, их отладку и тестирование. Выбор программного средства - в руках преподавателей и студентов. Наилучшее решение - использование каждым студентом в ходе реализации практикума нескольких программных средств.

Темы для рефератов

1. Моделирование как метод познания.

2. Информационное моделирование.

3. Компьютерное моделирование физических процессов.

4. Компьютерное моделирование в биологии и экологии.

5. Компьютерное моделирование в химии.

6. Математические методы в медицине.

Тема семинарских занятий

Основные приемы и методы компьютерного математического моделирования.

Дополнительная литература

1. Белошапка В. К. Информационное моделирование в примерах и задачах. - Омск: ОГПИ, 1992.

2. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. - М.: Мир, 1970.

3. Бейли Н. Статистические методы в биологии. - М.: ИЛ, 1962.

4. Беллман Р. Математические методы в медицине. - М.: Мир, 1987.

5. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1978.

6. Веденов А.А. Моделирование элементов мышления. - М.: Наука, 1988.

7. Геронимус Ю.В. Игра. Модель. Экономика. - М.: Знание, 1989.

8. Глинский Б. А. и др. Моделирование как метод научного исследования. - М.: Изд-во МГУ, 1965.

9. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Знание, 1991.

 

10. Колебания и бегущие волны в химических системах / Под ред. Р.Филд и М.Бургер. - М.: Мир, 1988.

11. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в информатику с позиций математического моделирования. - М.: Наука, 1988.

12. Кунин С. Вычислительная физика. - М.: Мир, 1992.

13. Марчук Г. И. Математическое моделирование в иммунологии. - М.: Наука, 1991.

14. Математическое моделирование / Под ред. Дж.Эндрюса, Р.Мак-Лоуна. - М.: Мир, 1979.

15. Могилев А.В., Злотникова И.Я. Элементы математического моделирования. - Омск: ОмГПУ, 1995.

16. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. - М.;

Мысль, 1965.

17. Пак П.И. Компьютерное моделирование в примерах и задачах. - Красноярск-

КрГПУ, 1994.

18. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкостей. -

Л.: Гидрометеоиздат, 1986.

19. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. - М.: Мир, 1975.

20. Романовский Ю.М., Степенов И.В., Чернавский Д.С. Что такое математическая биофизика? - М.: Просвещение, 1971.

Тема для рефератов

Виды трения. Трение покоя и трение движения. Зависимость силы трения от условий движения.

Темы семинарских занятий

1. Основные законы механики движения тела. Движение тел в среде с учетом трения.

2. Обезразмеривание величин, входящих в дифференциальные уравнения, и установление законов подобия.

Лабораторная работа

Общие рекомендации

1. Целесообразно до начала компьютерной реализации модели провести обезразмеривание переменных, входящих в уравнения, выявить безразмерные комбинации параметров модели и дальнейшие действия производить в безразмерных величинах.

2. Необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

3. Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы, и их применение ведет к лишнему расходу времени.

4. Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы зависимостей перемещения и скорости от времени, графики этих зависимостей, траектории. Желательны динамические иллюстрации движения тел (скажем, изображение движений по траекториям в некотором условном масштабе времени через равные промежутки). Уместны звуковые сигналы (одни - в критические моменты для моделируемого движения, другие - через некоторый фиксированный отрезок пройденного пути и т.д.).

5. При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегрирования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, не поддается восприятию. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

6. При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием того, какие величины отложены по осям, в каких масштабах и т.д.).

7. Поскольку таблицы, графики и траектории на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

Примерное время выполнения 16 часов.

Задания к лабораторной работе

1) Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.

2) Если моделирование будет производиться в безразмерных переменных (решение - на усмотрение студента и преподавателя), произвести обезразмеривание и найти набор значений безразмерных параметров.

3) Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на формы представления результатов.

4) Выбрать метод интегрирования системы дифференциальных уравнений модели, найти в библиотеке стандартных программ или разработать самостоятельно программу интегрирования с заданной точностью.

5) Произвести отладку и тестирование полной программы.

6) Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

7) Качественно проанализировать результаты моделирования.

8) Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

 

• титульный лист (указать название работы, исполнителя, номер группы и т.д.);

• постановку задачи и описание модели;

• результаты тестирования программы;

• результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

• качественный анализ результатов.

Варианты заданий

Вариант 1

Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на! какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую 10 м/с)?

Вариант 2

Изучить, как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта, чтобы скорость приземления была безопасной.

Вариант 3

Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (массой, формой) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.

Вариант 4

Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (массой, формой) в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно большой, чтобы линейной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать (на большей части пути).

Вариант 5

Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстрелянного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта.

Вариант 6

Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстрелянного» вертикально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается на землю.

Вариант 7

Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 8

Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 9

Провести моделирование взлета ракеты при значениях параметров m₀ =2 * 10⁷ кг, т_кон = 2 * 10⁵ кг, α= 2 * 10⁵ кг/с, F_тяги„ = 4 * 10⁸ Н. Ответить на вопрос, достигнет ли ракета при этих значениях параметров первой космической скорости 7,8 км/с?

Вариант 10

Провести исследование соотношения входных параметров m₀ и F_тяги, при которых ракета достигнет первой космической скорости (и в соответствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фиксировать произвольно. Построить соответствующую фазовую диаграмму в переменных (т₀, F_тяги).

Вариант 11

Разработать и исследовать усовершенствованную модель взлета ракеты, приняв во внимание, что реальные космические ракеты обычно двух- и трехступенчатые и двигатели разных ступеней имеют разную силу тяги.

Вариант 12

Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстрелянного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории двигатель выключается, над зондом раскрывается парашют, ион плавно спускается в точку старта.

Вариант 13

Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстрелянного» вертикально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается пара­шют, и он плавно спускается на землю.

Вариант 14

Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 15

Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 16

Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с подводной лодки на стоящий вертикально над ней надводный корабль. Исследовать связь между временем поражения цели и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 17

Построить траектории и найти временные зависимости горизонтальной и вер­тикальной составляющих скорости и перемещения для тела массой 1 кг, брошенного под углом 45° к горизонту с начальной скоростью 10 м/с:

1) в воздухе; 2) в воде.

Сравнить результаты с теми, которые получились бы без учета сопротивления среды (последние можно получить либо численно из той же модели, либо аналитически).

Вариант 18

Найти вид зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представить эту зависимость графически и подобрать подходящую аналитическую формулу, определив ее параметры методом наименьших квадратов.

Вариант 19

Разработать модель подводной охоты. На расстоянии r под углом α подводный охотник видит неподвижную акулу. На сколько метров выше нее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель?

Вариант 20

Поставить и решить задачу о подводной охоте при дополнительном условии: акула движется.

Вариант 21

Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстрелянного» под углом к горизонту. В верхней точке траектории над зондом раскрывается тормозной парашют, затем зонд плавно движется до земли.

Вариант 22

Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 23

Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 24

Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с лежащей на дне подводной лодки на поражение движущегося надводного корабля. Пуск торпеды производится в момент прохождения корабля над лодкой. Исследовать связь между глубиной залегания лодки, временем поражения цели и расстоянием, который корабль успеет пройти по горизонтали.

Дополнительная литература

1. Архангельский М.М. Курс физики. Механика. - М.: Просвещение, 1975.

2. ГулдХ., ТобочникЯ. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т. 1, 2.— М.: Мир, 1990.

3. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 1. - М.: Наука, 1977.

4. СивухинД.В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 1. - М.: Наука, 1974.

5. Стрелков СП. Механика. - М.: Наука, 1975.

6. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Наука, 1976.

Краткие сведения

Тема для рефератов

Движение небесных тел. Задача двух тел. Возмущения. Задача трех тел.

Темы семинарских занятий

1. Движение небесных тел. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера.

2. Закон Кулона. Единицы измерения электрических величин. Характеристики электрического поля.

Лабораторная работа

Общие рекомендации

1. Целесообразно до начала компьютерной реализации модели провести обезразмеривание переменных, входящих в уравнения, выявить безразмерные комбинации параметров модели и дальнейшие действия производить в безразмерных величинах.

2. Необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

3. Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегри­рования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы, и их применение ведет к лишнему расходу времени.

4. Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующем виде: в виде таблиц зависимостей перемещения и скорости от времени, в виде графиков этих зависимостей, в виде траекторий. Желательны динамические иллюстрации движения тел (скажем, изображение движения по траекториям в некотором условном масштабе времени через равные промежутки). Уместны звуковые сигналы (одни - в критические моменты для моделируемого движения, другие - через каждый фиксированный отрезок пройденного пути и т.д.).

5. При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегри­рования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, зрительно плохо воспринимается. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

6. При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием величин отложенных по осям, их размерности и масштаба и т.д.).

7. Поскольку таблицы, графики и траектории на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

Примерное время выполнения 16 часов.

Задания к лабораторной работе

1) Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.

2) Если моделирование будет производиться в безразмерных переменных (решение - на усмотрение студента и преподавателя), то произвести обезразмеривание и найти набор значений безразмерных параметров.

3) Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на форму представления результатов.

4) Выбрать метод интегрирования системы дифференциальных уравнений модели, найти в библиотеке стандартных программ или разработать самостоятельно программу интегрирования с заданной точностью.

5) Произвести отладку и тестирование полной программы.

6) Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

7) Качественно проанализировать результаты моделирования.

8) Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

 

• титульный лист (название работы, исполнителя, группу и т.д.);

• постановку задачи и описание модели;

• результаты тестирования программы;

• результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различной форме);

• качественный анализ результатов.

Варианты заданий

Вариант 1

Найти траекторию полета кометы, залетевшей в Солнечную систему, у которой на расстоянии от Солнца 100 астрономических единиц (1 а.е. = 1,50 * 10¹¹ м расстояние от Земли до Солнца) скорость (ν = 10 км/с) направлена под углом α = 30° к оси «комета - Солнце». Является ли эта траектория замкнутой? Если «да», то сколько длится для нее период полета?

Вариант 2

В условиях предыдущей задачи подобрать то значение угла а, при котором тра­ектория из незамкнутой превращается в замкнутую (скорость ν фиксирована).

Вариант 3

Вусловиях задачи из варианта 1 подобрать то значение скорости ν, при котором траектория из незамкнутой превращается в замкнутую (угол αфиксирован).

Вариант 4

Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.

Вариант 5

Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость третьего закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.

Вариант 6

Промоделировать траекторию движения малого космического аппарата, запускаемого с борта космической станции, относительно Земли. Запуск осуществляется путем толчка в направлении, противоположном движению станции, по касательной к ее орбите.

Вариант 7

Промоделировать траекторию движения малого космического аппарата, запускаемого с борта космической станции, относительно Земли. Запуск осуществляется путем толчка в направлении, перпендикулярном к плоскости орбиты движения станции.

Вариант 8

Как будет выглядеть полет искусственного спутника Земли, если учесть возмущающее действие Луны?

Вариант 9

Разработать и реализовать модель движения искусственного спутника Земли при учете воздействия на него малой постоянной силы, обусловленной «солнечным ветром». Считать, что плоскость орбиты движения спутника изначально перпендикулярна к «солнечному ветру».

Вариант 10

Считая, что движение Луны вокруг Земли происходит практически по круговой орбите, проанализировать воздействие на эту орбиту со стороны Солнца для малого участка движения, на котором плоскость орбиты перпендикулярна к оси «Солнце - Земля».

Вариант 11

Проанализировать особенности движения искусственного спутника Земли, движущегося практически по круговой орбите на высоте порядка 300 км, связанные с малым сопротивлением атмосферы.

Вариант 12

Проанализировать изменение круговой орбиты астероида, движущегося вокруг Солнца, под влиянием вулканического выброса с его поверхности.

Вариант 13

Найти траекторию движения тела массой 1 г, несущего заряд величиной q = 1 • 10^-2 К, в поле заряда величиной Q= 5 • 10^-2 К. Начальное расстояние между зарядами 1 м, начальная скорость равна 1 • 10^-1 м/с и направлена под углом 30° к оси, соединяющей заряды. Провести моделирование для случая зарядов одного знака.

Вариант 14

В условиях предыдущей задачи провести моделирование для случая зарядов разных знаков.

Вариант 15

Разработать модель движения практически невесомой заряженной частицы в электрическом поле, созданном системой нескольких фиксированных в пространстве заряженных тел, в случае когда заряженные тела находятся в одной плоскости и в ней же находится движущаяся частица.

Вариант 16

То же, что и в предыдущем варианте, но частица находится вне плоскости расположения зарядов; ее начальная скорость перпендикулярна к этой плоскости.

Вариант 17

Имеется неподвижная заряженная частица с зарядом Q и экран (рис. 2). В точке А экрана находится мишень. При каких соотношениях величины начальной скорости ν₀ движущейся частицы (заряд q) и угла прицеливания α она попадет в мишень? Расстояния обозначены на рисунке. Заряды частиц - разных знаков.

Рис. 2. К задаче варианта 17

Вариант 18

То же условие, что и в предыдущей задаче, но расположение частиц и экрана соответствует рис. 3; заряды частиц имеют одинаковые знаки.

Рис. 3. К задаче варианта 18

Вариант 19

Промоделировать движение заряженной частицы между пластинами плоско­го конденсатора. Поле конденсатора считать однородным, начальная скорость частицы направлена параллельно пластинам. Частицу считать практически невесомой.

Вариант 20

Промоделировать движение легкого (практически невесомого) заряженного тела сферической формы между горизонтальными пластинами плоского конденсатора с учетом сопротивления воздуха, находящегося между пластинами.

Вариант 21

Легкая заряженная частица падает вертикально вниз (под влиянием силы тяжести) на одноименно заряженную пластину (начальная скорость обеспечивает движение вниз независимо от соотношения силы тяжести и силы электростатического отталкивания). Промоделировать движение частицы, считая поле, созданное пластиной, однородным.

Вариант 22

Легкая заряженная частица влетает в однородное поле, созданное горизонтально расположенными пластинами конденсатора. Промоделировать ее траекторию, учитывая силу тяжести и электростатическую силу.

Вариант 23

Тоже, что и в предыдущем варианте, но пластины конденсатора расположены вертикально.

Вариант 24

То же, что и в варианте 22, то пластины конденсатора расположены наклонно.

Дополнительная литература

1. ГулдХ., ТобочникЯ. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т. 1,2. - М.: Мир, 1990.

2. Калашников С.Г. Электричество. - М.: Наука, 1977.

3. Левантовский В.И. Механика космического полета. М.: Наука, 1970.

4. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 1,2. - М.: Наука, 1977.

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 1, 3, 5. - М.: Наука, 1974.

6. Стрелков СП. Механика. - М.: Наука, 1975.

7. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Наука, 1976.

Краткие сведения

Колебательные процессы

Рассмотрим модель движения математического маятника (рис. 4) при произвольном (не малом) начальном угле отклонения.

Поскольку нить подвеса считается нерастяжимой, то у маятника одна степень свободы. Удобно принять за нее угол между нитью подвеса и вертикалью.

Уравнения движения имеют вид

(15)

Рис 4. Математический маятник

В случае малых колебаний (колебаний с малой амплитудой) оно превращается в так называемое уравнение малых колебаний, отличающееся от полного заменой в правой части sin(θ) на θ. Задача о малых колебаниях имеет простое аналитическое решение

θ=A cos (ωt + φ) (16)

где А - амплитуда колебаний, ω - частота, φ - начальная фаза. А и φ можно выразить через начальные условия - угол θ₀ и скорость v ₀:

(17)

Частота колебаний отметим, что она, равно как и период колебаний , в приближении малых колебаний не зависит от начальной амплитуды.

Малые колебания маятника - пример так называемого гармонического движения, описываемого простой тригонометрической функцией (см. (16)).

Для численного эксперимента удобно представить уравнение колебаний в форме системы двух уравнений первого порядка:

(18)

Входные параметры модели:

l - длина нити подвеса;

- начальное отклонение маятника;

х₀ - начальная угловая скорость.

Колебания маятника с трением в точке подвеса описываются следующим уравнением:

(19а)

где, как и выше, - коэффициент трения.

Уравнение (19а) равносильно системе уравнений

(19б)

Трение приводит, в частности, к тому, что в зависимости от соотношения η и ω появляются разные режимы движения: затухающие колебания и затухание без колебаний. Одна из задач исследования - найти на фазовой плоскости (η, ω) зависимость линии, разделяющей два режима, от начального отклонения маятника.

Входные параметры модели:

ω - частота собственных малых колебаний маятника;

θ₀ - начальное отклонение маятника;

х₀ - начальная угловая скорость;

η - коэффициент трения.

Вынужденные колебания маятника описываются уравнением

(20а)

где f - амплитуда, λ - частота вынуждающей силы.

Уравнение (20а) равносильно системе уравнений

(20б)

При наступает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. При эта амплитуда в приближении малых колебаний формально бесконечна, однако само приближение при этом не работает.

Вынужденные колебания характеризуются двумя этапами - переходным процессом и стационарными колебаниями с частотой вынуждающей силы. При переходный процесс сопровождается биениями - особым видом пульсирующих колебаний.

Входные параметры модели:

ω - частота собственных малых колебаний маятника;

θ₀ - начальное отклонение маятника;

х₀ — начальная угловая скорость;

η - коэффициент трения;

f - амплитуда вынуждающей силы;

λ - частота вынуждающей силы.

При периодическом изменении длины нити подвеса уравнение колебаний принимает вид

(21а)

где λ - частота колебаний нити подвеса.

Уравнение (7.21а) равносильно системе уравнений

(21б)

Одно из принципиальных явлений, связанных с этими колебаниями, — появление так называемого параметрического резонанса при некоторых соотношениях частот λи ω₀:

.

Входные параметры модели:

ω₀ - частота собственных малых колебаний маятника;

θ_О - начальное отклонение маятника;

х₀ - начальная угловая скорость;

η - коэффициент трения;

α - амплитуда модуляции;

λ - частота модуляции.

Контрольные вопросы

1. Как выглядят математические модели следующих движений:

• колебаний математического маятника без трения;

• малых колебаний математического маятника без трения;

• колебаний математического маятника с трением;

• вынужденных колебаний математического маятника;

• параметрически возбуждаемых колебаний математического маятника?

2. Как качественно влияет наличие трения на вид колебаний? Являются ли соответствующие колебания гармоническими?

3. В чем заключается процедура Фурье-анализа периодических процессов?

Темы для рефератов

1. Маятники различных видов. Свободные, вынужденные и параметрические колебания.

2. Спектральный анализ периодических процессов.

3. Колебания пружинного маятника.

4. Колебания крутильного маятника.

Тема семинарских занятий

Гармонические колебания. Спектральный анализ периодических процессов.

Лабораторная работа

Общие рекомендации

1. Целесообразно до начала компьютерной реализации модели провести обезразмеривание переменных, входящих в уравнения, выявить безразмерные комбинации параметров модели и дальнейшие действия производить в безразмерных величинах.

2. Необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

3. Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы, и их применение ведет к лишнему расходу времени.