Оценка надежности параметров множественной регрессии и корреляции

Оценка значимости множественного уравнения регрессии в целом проводится с помощью , (критерия Фишера).

(157)

 

где:

– факторная дисперсия (158)

– остаточная дисперсия (159)

F-критерий можно рассчитать и по формуле:

(160)

где:

- для линейной множественной модели – число факторов включенных в регрессионную модель. Для нелинейной модели - число параметров при и их линеаризации ( и так далее), которое может быть больше числа факторов

- число наблюдений

Если расчетный превышает табличный при определенном уровне значимости или , и числе свободы - , (таблицы Снедекора-Фишера – приложение 2) можно сказать, что уравнение множественной регрессии статистически значимо.

Величина позволяет также оценить статистическую значимость и коэффициента (индекса) множественной корреляции .

Кроме оценки уравнения в целом, большое практическое значение имеет статистическая оценка значимости каждого отдельно включенного в модель фактора, через частные критерии Фишера , (). Данная оценка позволяет оценить целесообразность включения в модель множественной регрессии каждого из факторов после введения в модель остальных факторов.

Расчет частного , для фактора проводится по формуле:

(161)

- коэффициент множественной детерминации для модели, включающей все факторы

- коэффициент множественной детерминации для модели, без включения фактора

Расчета частного в общем виде, для фактора проводится по формуле:

(162)

Расчета частного , для оценки значимости влияния фактора после включения в модель других факторов проводится по формуле:

(163)

Если величина расчетного частного превышает величину табличного при определенном уровне значимости или , и числе свободы - , (таблицы Снедекора-Фишера – приложение 2), можно сказать, что включение в модель фактора , после введения в модель остальных факторов, целесообразно. Если величина расчетного частного меньше табличного значения, можно сказать, что включение в модель фактора , после введения в модель остальных факторов, статистически неоправданно, и его необходимо исключить из рассматриваемой модели.

Зная величину частного критерия Фишера , рассчитывают частные критерии Стьюдента, для определения значимости каждого из коэффициентов чистой регрессии .

(164)

Критерий Стьюдента также можно рассчитать по формуле:

(165)

где:

- коэффициент чистой регрессии для фактора

- стандартная ошибка (166)

где:

- коэффициент детерминации множественного уравнения регрессии

- коэффициент множественной детерминации зависимости фактора со всеми остальными факторами уравнения множественной регрессии

- среднеквадратическое отклонение результативного признака

- среднеквадратическое отклонение факторного признака

Полученные фактические значения критерия Стьюдента сравнивают с табличными значениями при определенном уровне значимости , или , и числе степеней свободы (приложение 1). Если фактическое значение больше табличного соответствующий коэффициент регрессии статистически значим.

Фактические значения критерия Стьюдента сравнивают с табличными значениями при определенном уровне значимости , или , и числе степеней свободы , где - число исключенных переменных (приложение 1). Если фактическое значение больше табличного соответствующий коэффициент частной корреляции статистически значим.

Пример 22. По данным примеров 20 и 21 необходимо:

1. провести оценку существенности уравнения регрессии и его параметров:

2. рассчитать частные . Оценить с их помощью статистическую значимость включения факторов , , , решить вопрос включения в регрессионную модель одних факторов после включения других.

 

 

Решение.

1. Оценку существенности множественного уравнения проведем, используя критерий Фишера (F-критерий)

.

где:

– число факторов включенных в регрессионную модель.

– число наблюдений

Табличное значение для данной модели при уровне значимости , и числе свободы – , (значение 35 в приложении 2 отсутствует, возьмем ближайшее значение 30) будет равно 2,69.

Расчетное значение значительно больше табличного, соответственно множественное уравнение регрессии признается статистически значимым.

Расчет фактического , в программе Microsoft Excel – рисунок 9.

2. Рассчитаем частные для оценки значимости влияния фактора после включения в модель других факторов

Табличное значение при уровне значимости , и числе свободы - , будет равно 4,12.

а)

Фактическое значение больше табличного. Значит включение в модель фактора после факторов , , статистически значимо.

б)

Фактическое значение больше табличного. Значит включение в модель фактора после факторов , , статистически значимо.

в)

Фактическое значение больше табличного. Значит включение в модель фактора после факторов , , статистически значимо.

г)

Фактическое значение больше табличного. Значит включение в модель фактора после факторов , , статистически значимо.

где: – коэффициент множественной детерминации для множественной регрессионной модели со всеми включенными в нее факторами.

– коэффициент множественной детерминации для множественной регрессионной модели без фактора .

– коэффициент множественной детерминации для множественной регрессионной модели без фактора .

– коэффициент множественной детерминации для множественной регрессионной модели без фактора .

– коэффициент множественной детерминации для множественной регрессионной модели без фактора .

Значения коэффициентов , , , , рассчитаем в программе Microsoft Excel, методика расчета рассмотрена в примере 20 рисунок 9.

3. Статистическую оценку значимости коэффициентов регрессии по Стьюдента. Зная частные воспользуемся следующей формулой:

а)

б)

в)

г)

Табличное значение критерия Стьюдента при , и числе степеней свободы (значение 35 в приложении 1 отсутствует, возьмем ближайшее значение 30) равно 2,0423. Все фактические значения критерия Стьюдента больше табличного, то есть можно сделать вывод о статистической значимости всех коэффициентов регрессии .

Расчет и критериев Стьюдента для в программе Microsoft Excel приведен на рисунке 9. обозначен как F, а критерии Стьюдента как t-статистика.

Контрольные вопросы

1. Какие требования предъявляются к отбору факторов в модель множественной регрессии.

2. Что такое интеркорреляция?

3. Что такое мультиколлинеарность?

4. Приведите уравнение множественной линейной функции регрессии.

5. Приведите уравнение множественной степенной функции регрессии.

6. Приведите уравнение множественной показательной функции регрессии.

7. Приведите уравнение множественной функции регрессии экспоненты.

8. Приведите уравнение множественной функции регрессии гиперболы.

9. Приведите уравнение множественной функции регрессии параболы второго порядка.

10. Приведите систему уравнений, которую МНК дает для расчета параметров уравнения множественной линейной регрессии .

11. Как называется параметр во множественной регрессии? Каков его экономический смысл?

12. Приведите формулу расчета параметра во множественной регрессии?

13. Что показывают коэффициенты регрессии во множественной модели?

14. Что показывают стандартизованные коэффициенты регрессии во множественной модели?

15. Приведите формулу расчета стандартизованных коэффициентов регрессии для множественной линейной модели?

16. Приведите систему уравнений, которую дает МНК для уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе.

17. Что показывают частные уравнения регрессии?

18. Какой вид имеет система частных уравнений множественной регрессии для линейной функции.

19. Что показывают частные коэффициенты эластичности?

20. Что показывает средний коэффициент эластичности? Приведите формулу расчета.

21. Какой показатель характеризует тесноту связи во множественной модели?

22. Приведите формулу расчета показателя множественной корреляции.

23. Что показывает индекс множественной детерминации?

24. Приведите формулу расчета показателя множественной детерминации.

25. Приведите формулу расчета «» для нелинейных функций.

26. Приведите формулу расчета скорректированного индекс множественной корреляции.

27. Что показывают коэффициенты частной корреляции?

28. Что такое коэффициенты частной корреляции нулевого порядка?

29. Что такое коэффициенты частной корреляции первого порядка?

30. Что такое коэффициенты частной корреляции второго порядка?

31. В каком интервале могут принимать значения коэффициенты частной корреляции?

32. Как рассчитываются частные коэффициенты корреляции через .

33. Что показывают частные коэффициенты частной детерминации? Приведите формулу расчета.

34. Какой критерий позволяет оценить значимость множественного уравнения регрессии?

35. Приведите формулу расчета критерия Фишера для множественной модели.

36. Какой критерий позволяет оценить значимость каждого отдельно включенного в модель фактора?

37. Приведите формулу расчета частного , для фактора .

38. Какой критерий позволяет оценить статистическую значимость параметров множественного уравнения регрессии?

39. Приведите формулу расчета критерия Стьюдента.

Вопросы к тестам

1. Функция множественной регрессии имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

2. При построении функции множественной регрессии необходимо решить следующую задачу:

а) отбор функционально связанных признаков и ;

б) отбор функционально связанных признаков и ;

в) отбор факторов и спецификация модели.

 

3. При отборе факторов в модель множественной регрессии необходимо что бы:

а) все факторы были выражены в количественных единицах;

б) факторы, включенные в модель, были интеркоррелированы;

в) факторы, включенные в модель, были интеркоррелированы и мультикоррелированы.

 

4. Линейная функция множественной регрессии имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

5. Функция множественной регрессии параболы второго порядка имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

6. Функция множественной регрессии гиперболы имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

7. Линейная функция множественной регрессии экспоненты имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

8. Показательная функция множественной регрессии имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

9. Степенная функция множественной регрессии имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

10. МНК для расчета параметров уравнения множественной линейной регрессии дает систему уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

 

11. Параметры (коэффициенты регрессии), показывает:

а) на сколько единиц, в среднем, изменится результативный признак , если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на одну единицу при постоянной величине остальных факторов;

б) на сколько процентов, в среднем, изменится результативный признак , если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на один процент при постоянной величине остальных факторов;

в) на сколько средних квадратических отклонений, в среднем, изменится вариация результативного признака , если вариация соответствующего данному коэффициенту фактора увеличится на одно среднее квадратическое отклонение при постоянной величине вариации остальных факторов.

 

12. МНК для расчета параметров уравнения множественной линейной регрессии в стандартизированном масштабе дает систему уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

 

13. b -коэффициенты показывают:

а) на сколько единиц, в среднем, изменится результативный признак , если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на одну единицу при постоянной величине остальных факторов;

б) на сколько процентов, в среднем, изменится результативный признак , если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на один процент при постоянной величине остальных факторов;

в) на сколько средних квадратических отклонений, в среднем, изменится вариация результативного признака , если вариация соответствующего данному коэффициенту фактора увеличится на одно среднее квадратическое отклонение при постоянной величине вариации остальных факторов.

 

14. Между b -коэффициентами и коэффициентами регрессии в натуральном масштабе существует следующая взаимосвязь:

а) ;

б) ;

в) .

 

15. Параметр уравнения множественной линейной регрессии рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

16. Частные уравнения регрессии показывают:

а) влияние одного конкретного фактора на результативный признак , при зафиксированном, на среднем уровне, положении остальных, включенных в модель факторов;

б) влияние одного конкретного фактора на результативный признак , при зафиксированном, на минимальном уровне, положении остальных, включенных в модель факторов;

в) влияние одного конкретного фактора на результативный признак , при зафиксированном, на максимальном уровне, положении остальных, включенных в модель факторов.

 

17. Влияния зафиксированных факторов в уравнениях частной регрессии:

а) присоединены к коэффициенту регрессии ;

б) присоединены к индексу корреляции ;

в) присоединены к свободному члену уравнения регрессии .

 

18. Система частных уравнений множественной регрессии для линейной модели имеют вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

19. Частные коэффициенты эластичности рассчитываются как:

а) ;

б) ;

в) .

 

 

20. Частные коэффициенты эластичности показывают:

а) на сколько, в среднем, натуральных единиц изменится результат при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения ;

б) на сколько, в среднем, стандартных отклонений изменится результат при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения ;

в) на сколько, в среднем, процентов изменится результат при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения .

 

21. Показатель множественной корреляции показывает:

а) тесноту связи между результативным признаком и всеми включенными в модель факторами;

б) тесноту связи между результативным признаком и одним из включенных в модель факторов;

в) направление связи между результативным признаком и одним из включенных в модель факторов.

 

22. Показатель множественной корреляции может принимать значения в интервале:

а) от 0 до 1;

б) от -1 до +1;

в) от-∞ до +∞.

 

23. Показатель множественной детерминации показывает:

а) часть вариации результативного признака, которая сложилась под влиянием всех существующих в природе факторов оказывающих влияние на результат;

б) часть вариации результативного признака, которая сложилась под влиянием одного из включенных в модель факторов;

в) часть вариации результативного признака, которая сложилась под влиянием всех включенных в модель факторов.

 

24. Показатель множественной детерминации может принимать значения в интервале:

а) от 0 до 1;

б) от -1 до +1;

в) от-∞ до +∞.

 

25. Коэффициент (индекс) множественной корреляции для линейной функции рассчитывают, используя следующие формулы:

а) ;

б) ;

в) а, б.

 

26. Коэффициент (индекс) множественной детерминации для линейной функции рассчитывают, используя следующие формулы:

а) ;

б) ;

в) .

 

27. Скорректированный индекс множественной корреляции рассчитывают, используя следующие формулы:

а) ;

б) ;

в) .

 

28. Скорректированный индекс множественной детерминации рассчитывают, используя следующие формулы:

а) ;

б) ;

в) .

 

29. Частный коэффициент корреляции показывает:

а) тесноту связи между результативным признаком и только одним фактором при элиминировании (устранении) влияния всех остальных включенных в модель факторов;

б) тесноту связи между результативным признаком и всеми факторами, включенными в модель;

в) тесноту связи между результативным признаком и всеми факторами, включенными в модель, за исключением фактора .

 

30. Частные коэффициенты корреляции нулевого порядка это:

а) коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние одного фактора (, , и т.д.);

б) коэффициенты парной корреляции, так как нет необходимости устранять влияние даже одного фактора;

в) коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние двух факторов (, , и т.д.).

 

31. Частные коэффициенты корреляции первого порядка это:

а) коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние одного фактора (, , и т.д.);

б)коэффициенты парной корреляции, так как нет необходимости устранять влияние даже одного фактора;

в) коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние двух факторов (, , и т.д.).

 

32. Частные коэффициенты корреляции второго порядка это:

а) коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние одного фактора (, , и т.д.);

б) коэффициенты парной корреляции, так как нет необходимости устранять влияние даже одного фактора;

в) коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние двух факторов (, , и т.д.).

 

33. Коэффициенты частной корреляции могут принимать значения в интервале:

а) от 0 до 1;

б) от -1 до +1;

в) от-∞ до +∞.

 

34. В общем виде уравнение для расчета коэффициентов частной корреляции порядка имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

 

35. Коэффициент частной детерминации показывает:

а) долю вариации результативного признака дополнительно сложившуюся при включении в модель фактора , в вариации признака, объясненную включенными до этого в модель факторами;

б) долю вариации факторного признака дополнительно сложившуюся при включении в модель результативного признака , в вариации признака, не объясненную включенными до этого в модель факторами;

в) долю вариации результативного признака дополнительно сложившуюся при включении в модель фактора , в вариации признака, не объясненную включенными до этого в модель факторами.

 

36. Коэффициент частной детерминации рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

37. Оценка существенности множественного уравнения регрессии в целом проводится с помощью:

а) критерия Боэля-Мориота;

б) критерия Фишера;

в) критерия Стьюдента.

 

38. Фактическая величина F-критерия для множественной регрессии рассчитывается по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

39. Уравнение множественной регрессии признается статистически значимым если:

а) фактическое значение F-критерия меньше табличного;

б) фактическое значение F-критерия меньше табличного не менее чем в 2 раза;

в) фактическое значение F-критерия больше табличного.

 

40. Частные критерии Фишера:

а) позволяют оценить целесообразность включения в модель множественной регрессии каждого из факторов после введения в модель остальных факторов;

б) позволяют оценить целесообразность включения в модель множественной регрессии каждого из факторов перед введением в модель остальных факторов;

в) позволяют оценить целесообразность включения в модель парной регрессии каждого из факторов перед введением в модель остальных факторов.

 

41. Расчета частного в общем виде, для фактора проводится по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

42. Оценка статистической значимости, коэффициентов регрессии, свободного члена уравнения и частных коэффициентов корреляции проводится с помощью:

а) критерия Боэля-Мориота;

б) критерия Фишера;

в) критерия Стьюдента.

 

43. Частные критерии Стьюдента, для определения значимости каждого из коэффициентов чистой регрессии рассчитываются как:

а) ;

б) ; где:

- коэффициент чистой регрессии для фактора

- стандартная ошибка

в) ; где:

- коэффициент чистой регрессии для фактора

- стандартная ошибка

.

 

44. Параметры уравнения множественной регрессии и частные коэффициенты корреляции признаются значимыми если:

а) фактическое значение t-критерия меньше табличного;

б) фактическое значение t-критерия меньше табличного не менее чем в 2 раза;

в) фактическое значение t-критерия больше табличного.

 

Ключ к тестовым вопросам

а	в	а	а	в	б	в	в	б	в	а
а	в	а	б	а	в	б	б	в	а	а
в	а	б	а	б	в	а	б	а	в	б
б	в	а	б	в	в	а	б	в	в	в

Задачи

 

Задача 16. Имеются данные по совокупности, состоящей из 40 единиц о величине результативного признака (ц/га), и факторов , , , .

Таблица 46