Определение касательной к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема (свойство касательной к окружности)

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Дано: р- касательная к окружности

А – точка касания

Доказать: р ОА

Доказательство.

Докажем методом «от противного».

Предположим, что р ОА, тогда ОА – наклонная к прямой р.

Если из точки О провести перпендикуляр ОН к прямой р, то его длина будет меньше радиуса: ОН< ОА=r

Получим, что расстояние от центра окружности к прямой р (ОН) меньше радиуса (r), значит прямая р – секущая (т.е. имеет с окружностью две общие точки), что противоречит условию теоремы (р- касательная).

Значит предположение неверно, следовательно прямая р перпендикулярна ОА.

ч.т.д.

Теорема (Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки)

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Дано: окр. (О; r)

АВ и АС – касательные к окр. (О; r)

Доказать: АВ=АС

<3 = < 4

Доказательство

1) ОВ АВ, ОС АС, как радиусы, проведенные в точку касания (свойство касательной)

2) Рассмотрим тр. АОВ и тр. АОС – п/у

АО – общая

ОВ=ОС (как радиусы)

Значит, АВО = АОС (по гипотенузе и катету). Следовательно,

АВ =АС, <3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Теорема (Признак касательной)

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

Дано: ОА – радиус окружности

А ∈ р

р ОА

Доказать: р- касательная к окружности

 

Доказательство

ОА – радиус окружности (по условию) (ОА=r)

ОА – перпендикуляр из О к прямой р (ОА =d)

Значит, r=ОА=d, значит прямая р и окружность имеют одну общую точку.

Следовательно, прямая р – касательная к окружности. ч.т.д.

 

3.Свойство хорд и секущих.

Свойства касательной и секущей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой (на рисунке это отрезок). Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.

 

1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

3. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: