Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Базис. Разложение вектора по базису.
10 Базис. Рассмотрим в пространстве R3 систему декартовых прямоугольных координат. Тройку векторов, удовлетворяющих условиям: 1) Вектор лежит на оси O х, вектор на оси O у, вектор на оси O z. 2) Векторы сонаправлены с осями. 3) Векторы единичные, т.е. , , , называют координатным базисом. Любой вектор в пространстве может быть выражен через векторы при помощи линейных операций.
20Пусть вектор, задан координатами начала и конца А(х1,у1,z1) и В (х2,у2,z2). Проекции вектора на оси координат определяются формулами: (2) Проекции X, Y, Z вектора на оси координат называют его координатами. При этом пишут: или (3) Формула: (4) выражает длину вектора , через его координаты. В частности длина радиус вектора точки М (х,у,z) равен ,
30 Пусть и - углы вектора с осями координат. Из формул (1) и (4) получаем:
(5) причём называются направляющимися косинусами. Пример2. Пусть (см.рис.) М - середина ВС и N - середина AC. Определить векторы , , при . Решение. Имеем , . , , , . Следовательно, и . Аналогично, , , и
Ответ: , .
Пример3. Даны точки А(1;2;3) и В(3;-4;6). Найти длину вектора и направляющие косинусы. Решение. По формулам (2) имеем: Х=3-1=2 Z=6-3=3 Следовательно, . Далее по формуле (4) и (5) получим: , при этом Пример 4. Радиус вектора точки М составляет с осью ох угол 450 с осью оу угол 600. Длина его r=6. Определить координаты точки М, если её координата z - отрицательна, и выразить вектор , через Решение. По формулам (5) имеем:
т.е. , , , , , следовательно, z2=9, , т.к. координата z отрицательна, то z=-3.
3. Скалярное произведение. 10 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается .
Где угол между векторами и . Так как и , то можно записать . 20 Свойства скалярного произведения: 1) = . 2) . 3) . 4) Если а , то = . В частности 1) Если то = 2) Для базисных векторов :
, 30 Если векторы и заданны своими координатами: , , то
40 Угол между векторами:
Условие параллельности векторов и есть:
т.е. .
Пример 5. Определить угол между векторами и .
Решение. , . , .
Пример 6. Определить угол между векторами , Решение. , .
Пример 7. Определить углы треугольника с вершинами А(2;-1;3), В(1;1;1) и С(0;0;5). Решение. По формуле (2) найдём координаты векторов: Скалярное произведение из (8): Следовательно, векторы и перпендикулярны и согласно свойству угол . Далее находим координаты вектора: По формуле (9): Следовательно, Ответ: ,
Пример 8. Найти скалярное произведение векторов Решение. . Так как то
Векторное произведение. 10 Векторным произведением вектора , на вектор называется вектор , такой что: 1) длина вектора равна где угол между векторами, т.е. длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах . 2) Вектор , перпендикулярен каждому из векторов . 3) Векторы образуют правую тройку векторов, т.е. кратчайший поворот вектора в сторону вектора виден из точек совершающимся против часовой стрелки. Векторное произведение обозначается .
20 Свойства векторного произведения: 1) , если - коллинеарные векторы (т.е. параллельные одной прямой) 2) = . 3) 4) . 30 , , , , , . 40 Выражение векторного произведения через координаты сомножителей: .
Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде:
50 Площадь параллелограмма построенного на векторах : S= И площадь треугольника построенного на векторах : S=
Пример 8. Даны векторы , . Найти: 1) , 2) Решение. 1) Находим векторное произведение . = . 2) Найдём координаты вектора и находим векторное произведение и . Ответ: .
Пример 9. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Решение. Находим векторное произведение : = . Ответ: S=49 кв.ед.
Пример 10. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), В(1;0;6) и С(4;5;-2). Решение. находим векторы и : = = Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма построенного на векторах и , поэтому находим векторное произведение этих векторов:
Ответ: S=24,5 кв.ед.
5.Смешанное произведение трех векторов. 10 Смешенным произведением векторов и , называется выражение вида . Если векторы и заданны своими координатами , , , то смешанное произведение определяется формулой:
20 Свойства смешанного произведения: 1) 2) Если два из трёх данных векторов равны или параллельны, то их смешанное произведение равно 0. 3) , поэтому смешанное произведение обозначается авс.
30 Объём параллелепипеда, построенного на векторах и :
(+ при правой тройке, - при левой) Объём пирамиды построенной на векторах :
40 Если , то векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. При этом, между и существует линейная зависимость вида .
Пример 11. Найти смешанное произведение векторов , . Решение. По формуле (15), находим: . Ответ: 4.
Пример 12. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами А(0;0;1), В(2;3;5), C(6;2;3) и D(3;7;2). Решение. Найдём векторы и , совпадающие с рёбрами пирамиды, сходящимися в вершине А: Найдём смешанное произведение этих векторов: = Так как объём пирамиды равен объёма параллелепипеда построенного на векторах , то . Ответ: куб. ед.
Пример 13. Даны радиус вектора трёх последовательных вершин параллелограмма ABCD: Определить радиус вектора четвёртой вершины. Решение. Пусть Так как , то и так как , то . Решая систему Получим x=7, y=7, z=7. Ответ. . Пример 14. Установить, компланарны ли векторы , если Решение. Найдём смешанное произведение: = следовательно, векторы компланарны. Контрольные вопросы. 1.Векторы. Линейные операции над векторами. 2.Базис. Разложение вектора по базису. 3.Скалярные произведения. 4.Векторные произведения. 5.Смешанное произведение двух векторов.
Задания. 1. Проверить векторные тождества 1) , 2) .
2. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА=600 , ОВ=ВС=СА=2, М и N- середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и , через и , где и единичные векторы направлений и . 4. Вектор составляет с координатными осями ох и оу углы 600 и соответственно. Вычислить его координаты при условии 5. Даны точки А(2;2;0) и В(0;-2;5). Построить вектор и определить его длину и направление. 6. Даны векторы , . Вычислить: а) , б) , в) , г) . 7. Определить при каком значении m векторы и , взаимно перпендикулярны. 8. Даны точки А(3;3;-2), В(0;-3;-4), С(0;-3;0) и D(0;2;-4). Построить векторы и найти 9. Векторы образуют угол , зная что вычислить: 1) , 2) 3) 4) 5) . 11.Векторы составляют угол . Найти площадь треугольника построенного на векторах , если 12.Даны векторы . Найдите и . 13.Даны векторы Найти координаты векторного произведения 14.Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах и если , 15.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , . 16. Найти смешанное произведение векторов: a=i-j+k, в=i+j+k, c=2i+3j+4k. 17. Показать, что векторы: a=7i-3j+2k, в=3i-7j+8k, c=i-j-k - компланарны. 3) Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами А(0;0;1), В(2;3;5), С(6;2;3) и D(3;7;2). Найти длину высоты пирамиды, опущенной на грань BCD.
Занятие 5.
|
||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; просмотров: 308; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.129.22.135 (0.139 с.) |