Основы теории выборочного метода.

Выборочный метод - основной метод математической статистики, состоящий в принятии статистических решений на основании выборки. При выборочном методе наблюдению подвергается не вся совокупность единиц, а только часть их, отобранная на основе определенных научных принципов. Сущность выб метода заключается в том, что данные, полученные на основе отобранной части совокупности, распространяются на всю генеральную совокупность. Отобранная часть ген совокупности, подлежащая выборочному наблюдению называется выбороч совокупностью. Средние и относительные величины, полученные по отобранной части единиц, достаточно точно воспроизводят соответствующие показатели совокупности в целом.

1. применяются в тех случаях, когда сплошное наблюдение невозможно,

2. необходимость детального исследования, при невозможности охвата всех единиц,

3. экономия времени и средств,

4. достижения большей точности результатов исследования благодаря регистрации.

Ошибки:

Расхождение между расчетным и действительным значениями изучаемых величин называется ошибкой наблюдения.

В зависимости от причин различают следующие виды ошибок наблюдения:

• ошибки регистрации;

• ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации (случайные и систематические) - это отклонение между значением показателя,

полученного в ходе статистического наблюдения, и фактическим, действительным его значением.

Ошибки репрезентативности. Характерны только для не сплошного

наблюдения и представляют собой отклонение значения показателя обследованной выборочной совокупности от его величины по исходной совокупности.

Ошибки наблюдения Ен являются суммой ошибок регистрации Ер и ошибок репрезентативности Еп. Ен=Ер+Еп

Ошибки выборки свойственны только выборочным наблюдениям. Чем больше эти ошибки, тем больше эмпирическое распределение отличается от теоретического.

Предельной ошибкой выборочного наблюдения Δх~ называется разность между величиной средней в генеральной совокупности и ее величиной, вычисленной по результатам выборочного наблюдения Δx~ = |xсред − x~|.

Средняя квадратическая величина:

m- средняя квадратическая величина

Средняя ошибка выборки есть величина, выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от математического ожидания. Эта величина при соблюдении принципа случайного отбора зависит прежде всего от объема выборки и от степени варьирования признака: чем больше и чем меньше вариация признака (следовательно, и значение), тем меньше величина средней ошибки выборки.

Вычисления ошибки позволяют определить характеристики генеральной совокупности

Нормированное отклонение, характеризующее отклонение индивидуальных значений признака от средней и приходящееся на единицу среднего квадратического отклонения: t=Е/m

Вероятность отклонения при выборке n стремящимся к бесконечности определяется уравнением Лапласа-Гаусса

y - вероятность

t - нормированное отклонение

б – среднее отклонение

Теория малых выборок.

При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А.М.Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений.

Однако в практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с малыми выборками.

Малой выборкой называется такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной совокупности не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются критерием Стьюдента.

Величина σ вычисляется на основе данных выборочного наблюдения.

Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки σ в генеральной совокупности.

Вероятностная оценка результатов малой выборки отличается от оценки в большой выборке тем, что при малом числе наблюдений распределение вероятностей для средней зависит от числа отобранных единиц.

Однако для малой выборки величина коэффициента доверия t по другому связана с вероятностной оценкой, чем при большой выборке (так как, закон распределения отличается от нормального).

Согласно установленному Стьюдентом закону распределения, вероятная ошибка распределения зависит как от величины коэффициента доверия t, так и от объема выборки В.

Средняя ошибка малой выборки вычисляется по формуле:

,

где — дисперсия малой выборки.

В МВ коэффициент n/(n-1) нужно брать во внимание и обязательно корректировать. При определении дисперсии S2 число степеней свободы равно:

.

Предельная ошибка малой выборки определяется по формуле

При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента, в которых даны распределения стандартизированных отклонений:

.

Вероятностная оценка результатов МВ отличается от оценки в БВ тем что при малом числе наблюдений распределение вероятностей для средней зависит от числа отобранных единиц

БВ: P=F(t)

МВ: P=F(t, n)