Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема «Уравнение касательной».
Задача 8. Найти уравнение касательной к кривой в точке . Решение. Значение в точке: . Производная: . Производная в точке: . Уравнение принимает вид , что преобразуется к виду . Ответ. . Задача 9. Найти касательную к графику в точке с абсциссой 2 и расстояние от этой прямой до начала координат. Решение. , , . Подставим эту информацию в уравнение . Получается . Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости: для этого сначала преобразуем к неявному виду: . Тогда видно, что . . = = . Ответ. Касательная , расстояние . Задача 10. Найти касательную к графику в точке . Решение. , , .
. Ответ. Уравнение касательной .
Задача 11. Найти касательную к графику функции в точке . Решение. . . . . Ответ. Уравнение касательной . Задача 12. Найти касательную к графику функции в точке . Решение. , , . Тогда уравнение: что сводится к виду . Ответ. . Практика 22 Задача 1. Найти уравнение касательной к графику в точке и площадь треугольника, который она отсекает от одной из координатных четвертей. Решение. , , . . Выясним, треугольник и в какой четверти она отсекает. Для этого найдём точки пересечения с координатными осями. , . Точки и . Треугольник в 4-й четверти. Схематично покажем, где и как он расположен: Его площадь это 0,5 от площади достроенного прямоугольника, а она была бы равна . Поэтому ответ . Ответ. Касательная , площадь треугольника . Задача 2. На графике функции взята точка . Касательная к графику в точке наклонена к оси под углом, тангенс которого равен . Найти точку . Решение. « Касательная наклонена под углом, тангенс которого » это значит, что производная в той точке равна . Вообще говоря, уравнение касательной здесь в полном виде и не понадобится. Надо узнать, в какой точке производная функции равна . = . Решим уравнение . А тогда уже легко вычисляется и значение функции, и находится точка. = = 2. Ответ. Точка . Задача 3. Найти точки на графике , такие, что касательная, проведённая в них, проходит через начало координат. Решение. Необходимо, чтобы в уравнении касательной не было константы, тогда касательная будет содержать начало координат. Пусть такая точка имеет абсциссу . Тогда , . Уравнение касательной . Преобразуем его. . Чтобы не было константы, должно быть , т.е. или . Высота графика при обоих этих значениях одинакова, и равна 8. Тогда точки: и .
Ответ. и .
Задача 4. Найти уравнение касательной к кривой в точке . Решение. , . , тогда , . Ответ. . Задача 5. Найти касательную плоскость к поверхности в точке (1,1,2). Решение. Уравнение касательной плоскости, которые доказали в лекциях, имеет вид: . Запишем уравнение поверхности в неявной форме , чтобы можно было искать градиент. . . Тогда уравнение касательной плоскости: , приведём подобные: . Ответ. . Задача 5а (домашняя). Найти касательную плоскость к поверхности в точке (1,2,5). Ответ. .
Задача 6. Найти касательную к неявно заданной кривой в точке . Решение. Уравнение касательной для этого случая имеет вид: . Выражать в явном виде и не требуется. Во-первых, проверим, что точка на самом деле принадлежит этой кривой. Подставим 1,1 и проверим тождество. Оно выполняется. Найдём частные производные: Тогда . Уравнение касательной: , сводится к виду . Ответ. .
Тема «Формула Тейлора». Задача 7. Вывести формулу Тейлора для функции в точке . Решение. Найдём производные и их значения в нуле, до тех пор, пока они не начнут повторяться:
Как и для косинуса, здесь 4 производная совпадает с и повторение через каждые 4 шага. Подставим эти константы в формулу Получаем Ответ. График синуса и частичных сумм ряда: Синим цветом показан , красным кубическая парабола , а зелёным ещё более точное приближение . Задача 8. Вывести формулу Тейлора для в точке . Решение. Найдём производные:
Подставим эти коэффициенты в формулу. Получим В числителе тоже факториалы, но с небольшим отставанием, на одно число. Поэтому почти все множители из этих факториалов (кроме последнего) сокращаются, например . А элемент это просто либо либо при чётной и нечётной степени соответственно. Ответ.
Задача 9. Вывести формулу Тейлора для в точке . Решение. Запишем производные.
Подставим эти коэффициенты в формулу. Получим Ответ.
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; просмотров: 142; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.16.51.3 (0.046 с.) |