І. Поняття подвійного інтеграла

Подвійний інтеграл є узагальнення визначеного інтеграла на випадок функцій двох змінних. Він знаходить широке використання при розв’язанні прикладних задач у різноманітних галузях.

Нехай у обмеженій, замкнутої області D площини X ОY задана неперервна функція z = f(x,y). Поділимо цю область на кінчену кількість елементарних областей D_k (k=1, 2,...,n) за допомогою довільних кривих, оберемо у кожній елементарній області довільну точку A_k (x_k,,y_k) та обчислимо значення функції у цій точці f (x_k,y_k) (рис.1.1). Площу області D_k позначимо через

Визначення I .

n - ою інтегральною сумою для функції f (x, y) у області D називається сума вигляду

Рис. 1.1

…+

 

Нехай d_k - діаметр k - ої елементарної області, тобто відстань між двома найбільш віддаленими точками цієї області, а - найбільший з діаметрів усіх елементарних областей.

Визначення 2. Подвійним інтегралом відфункції f(x,y) по області D

називається границя n-ої інтегральної суми при прямуванні до нуля найбільшого із діаметрів

де - підінтегральна функція, D - область інтегрування, - елемент площі.

Умови існування цієї границі (подвійного інтеграла) визначаються наступною теоремою.

ТЕОРЕМА. Якщо функція неперервна у обмеженої, замкнутої області D, границею якої є кусково – гладка крива, то n-а інтегральна сума функції має границю при прямуванні до нуля найбільшого діаметра елементарної області. Ця границя, тобто , не залежить від способу розбиття області D на елементарні області та від вибору в них проміжних точок .

Геометричний сенс подвійного інтеграла

Якщо , то подвійний інтеграл від функції f(x,y) по області D дорівнює об’єму тіла, обмеженого зверху поверхнею , знизу – кінченою замкнутою областю D площини а з боків - циліндричною поверхнею із напрямною - границею області D и твірною, паралельній осі OY (рис. 1.2).

Таке тіло називають циліндричним або циліндроїдом.

Рис. 1.2

Властивості подвійного інтеграла

Властивості подвійного інтеграла – це узагальнення відповідних властивостей визначного інтеграла. Основні з них – такі:

I. Подвійний інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій по області D дорівнює алгебраїчній сумі подвійних інтегралів по області D

2. Постійний множник можна виносити за знак подвійного інтег­рала, тобто,

 

якщо С = const, то

3. Якщо область D поділена на дві області (без спільних внутрішніх точок) і функція неперервна в усіх точках області D, то

ПОДВІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ У ПРЯМОКУТНИХ ДЕКАРТОВЫХ

КООРДИНАТАХ

 

Якщо функція неперервна в області D, то подвійний інтеграл незалежить від с пособу розбиття області D на елементарні облас­ті Dk.

Тобто, область D можна розбити прямокутною сіткою, паралельною осям координат. Тоді елемент площі (Рис. 2.1).

І в цьому випадку будемо мати .

При обчисленні подвійного інтеграла треба почати з аналізу області інтегрування D.

Рис. 2.1

Відрізняють дві основних області інтегрування.

I. Припустимо, что область D обмежена зліва та справа прямими , а знизу та зверху неперервними кривими і нехай Для будь-якого пряма, паралельна осі OY, що проходе через точку x, перетинає границю області D тільки у двох точках: («точка входу») и ("точка виходу"). Таку область D ми будемо називати правильною у напрямку осі OY.

 

Рис. 2.2

Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою

.

Інтеграл у правій частині формули називається повторним або двократним.

Підкреслимо, що у внутрішньому інтегралі при інтегруванні по y границі інтегрування у загальному випадку є функції змінної x, тобто тієї змінної, по який обчислюється зовнішній інтеграл и котра при обчисленні внутрішнього інтеграла вважається сталою.

При цьому спочатку шукається внутрішній інтеграл

, а одержаний результат у вигляді функції від x підставляється у якості підінтегральної функції у зовнішній інтеграл

2.Область інтегрування D обмежена знизу та зверху прямими , а

зліва та справа - неперервними кривими , причому,

кожна з них перетинається гори­зонтальною прямою тільки в одній точці

(рис. 2.2,б.). Область D у цьому випадку називається правильною в напрямку осі ОX. Подвійний інтеграл у цьому випадку обчислюється за формулою

 

причому, спочатку обчислюється внутрішній інтеграл , де у вважається постійною величиною.

Зауваження. Може статися, що область D обмежена знизу або зверху (зліва або справа) не одною лінією, а декількома.

Нехай, наприклад,

Область D зображена на рис. 2.3. Тоді подвійний інтеграл по області D можна представити у вигляді суми двох інтегралів

 

Рис. 2.3

і через повторні інтеграли наступним чином:

.

Приклад I. Обчислити подвійний інтеграл , де область D – прямокутник:

Розв’язок. Область інтегрування D показано на рис. 2.4. Вона є правильною як у напрямку осі ОY, так і у напрямку осі ОX. Порядок інтегрування у повторному інтегралі можна обрати будь-який. Але зауважимо, що треба звертати увагу й на вигляд підінтегральної функції, тому що у деяких випадках доцільніше починати інтегрування по тій зі змінних, по якій інтеграл береться простіше.

Також бувають ситуації, коли по одній зі змінних інтеграл взяти не можна, а по іншій він легко береться. Тобто треба шукати оптимальний шлях інтегрування. Нехай зовнішній інтеграл обчислюється по змінний x, а внут­рішній по у. Проводимо дві вертикальні лінії, що обмежують об­ласть зліва та справа. Область D розташована у смузі від х = 2 до x = 5. Таким чином, у зовнішньому інтегралі по х границі інтегрування змінюються від 2 до 5. Зараз визначимо, яким чином змінюється у. Для цього проведемо будь-яку вертикаль­ну пряму і починаємо рухатись по ній знизу вверх. При цьому y змінюється від прямої до прямої . Таким чином, інтегрування у внутрішньому інтегралі ведеться від у =1 до у =3:

Обчислюємо спочатку внутрішній інтеграл. При обчисленні інтеграла по у, змінна х вважається сталою:

Рис. 2.4 Інтегруємо одержану функцію по змінній x, обчислюємо зовнішній інтеграл:

Таким чином, = 660.

Приклад 2. Обчислити подвійний інтеграл де D – область, обмежена прямими і гіперболою

 

Рис. 2.5

 

Розв’язок. Побудуємо область інтегрування (рис.2.5). Точки перетину вказаних ліній знаходимо через сумісне розв’язання рівнянь та Область Dє правильна у напрямку осі ОY. Тому через крайню ліву й крайню праву точку області проводимо вертикальні прямі. Їх рівняння будуть, відповідно Зовнішнє інтегрування буде проводитись по х і границі інтегрування будуть: Границі інтегрування для внутрішнього інтеграла є ординати точки «входу» и точки «виходу» вертикальної прямої

У даному випадку для точки «входу» а для точки «виходу»

Таким чином,

Приклад 3. Обчислити подвійний інтеграл де область D обмежена параболою та прямими у = 0, х + у =2 (рис.2.6).

Розв’язок. Область D є правильна як у напрямку осі ОХ, так і у напрямку осі ОУ. Однак при проведенні зовнішнього інтегрування по х бачимо, что область D зверху обмежена двома лініями та х+ у =2. Ось чому область необхідно поділити на дві частини, і, таким чином, будемо мати два повторних інтеграли.

Рис. 2.6 Але цей спосіб не є раціональним. Тому зовнішнє інтегрування будемо проводити по змінній у. Для цього через нижню та верхню точки області проводимо горизонтальні прямі. Їх рівняння відповідно Змінна у, таким чином,буде мінятися на відрізку Границі інтегрування для внутрішнього інтеграла є абсциси точок «входу», «виходу» довільної горизонтальної прямої з

рівнянням Для визначення абсцис цих точок рівняння ліній,

що обмежують область D зліва та справа, повинні бути розв’язані відносно змінної х:

Приклад 4. Обчислити подвійний інтеграл

Область D обмежена лініями (рис. 2.7).

Розв’язок. Область D є правильна відносно обох осей. Однак, якщо зовнішнє інтегрування проводити по змінній у, то область необхідно розбити на три частини (справа область обмежена трьома лініями: ). Якщо же зовнішнє

Рис. 2.7 інтегрування вести по х, то область розбивається на

дві частини

Зауваження. Якщо область D не є правильною ні у напрямку осі OХ, ні у напрямку осі ОУ (тобто, існують вертикальні й гори­зонтальні прямі, які, проходячи через внутрішні точки облас­ті D, перетинають границю області

більш ніж у двох точках), то подвій­ний інтеграл по цій області ми не можемо

представити у вигляді двократного. Якщо удається розбити неправильну область D на конечну кількість правильних або у напрямку осі ОХ, або у напрямку осі ОУ областей, то, обчислюючи подвійні інтеграли по кожній з цих областей за допомогою двократних та додаючи їх, одержимо шуканий інтеграл по області D.

Приклад 5. Змінити порядок інтегрування у повторному інтег­ралі

.

Розв’язок. Встановимо область D, використовуючи дані границі інтегрування. Приймаючи до уваги порядок інтегрування, маємо, що область D знизу обмежена прямою зверху - прямою зліва кривою (парабола) і справа кривою (коло). Побудуємо область D

(рис. 2.8).

При зміненні порядку інтегрування, тобто при зовнішньому інтегруванні по х, через крайню

Рис. 2.8 ліву та крайню праву точки області проводимо вертикальні прями. Їх рівняння При цьому зауважимо, что верхня границя області складається з ліній: дуги параболи, відрізка прямої й дуги кола. Рівняння цих ліній необхідно розв’язати відносно у: Подальше область D розбиваємо на три області (абсциси точок розділу знаходимо, розв’язуючи сумісно рівняння відповідних ліній):

.

Таким чином,

Із наведених вище прикладів можна зробити наступний висновок:
Порядок інтегрування визначається тим, чи є правильною область