Нормальное состояние атома водорода. Полная волновая функция и полный набор наблюдаемых невозбужденного состояния атома водорода.

Нормальным состоянием атома водорода называется состояние с наименьшим значением полной энергии. Такое состояние возникает при квантовых числах Рассмотрим полную волновую функцию электрона в атоме водорода, заданную в сферических координатах без учета ее зависимости от времени:

,

(1)

где нормировочный коэффициент при любых квантовых числах;

(2)

 

(3)

 

(4)

 

(5)

Подставим квантовые числа (*) в (2) – (4) и получим:

(6)

 

(7)

 

(8)

Таким образом, полная функция нормального состояния атома водорода имеет вид:

(9)

Численные коэффициенты определяются из условия нормировки волновой функции:

(10)

 

(11)

Вычисление интегралов (10) и (11) приводит к следующим результатам:

(11)

 

(11)

Окончательно:

(12)

 

Учитывая, что полная энергия атома водорода , его механический орбитальный момент импульса и проекция механического орбитального момента импульса на ось z соответственно равны:

(13)

 

,

(14)

 

(15)

получаем для невозбужденного состояния атома водорода:

(16)

 

(17)

2)Дать названия элементам, входящие в формулы:

Присоединенный полином Лежандра.

Волновая функция, являющаяся решением сферическое уравнение Шредингера для атома водорода, имеет вид:

(1)

Как видно из (1), эта функция содержит полином. Коэффициенты полинома устанавливаются через предыдущие коэффициенты с помощью рекуррентной формулы

(2)

Таким образом, явный вид всех коэффициентов можно установить через первый. Первый же коэффициент будет в конечном итоге играть роль нормировочного коэффициента и определяться из условия нормировки. Однако, можно упростить получение полинома в (1) и вместо поиска нормировочных коэффициентов для установить формулу для общего нормировочного коэффициента. Для этого коэффициент представляют в виде:

(3)

В этом случае вместо полинома получается полином вида:

(4)

где . Сферическая функция (1) при этом принимает вид:

(5)

В (5) общий нормировочный коэффициент устанавливается из условия нормировки

(6)

и имеет вид:

(7)

 

Билет №25

1)

2)Дать названия элементам, входящие в формулы:

 

Воспользуемся ранее полученным из стационарного уравнения Шредингера для атома водорода сферическим уравнением Лагранжа:

(1)

Введем обозначение:

(2)

После разделения переменных уравнение (1) разбивается на два:

(3)

 

(4)

В (3) и (4) m –постоянная величина, которая устанавливается в процессе решения уравнения (3) и называется квантовым магнитным орбитальным числом электрона в атоме водорода.

Решим уравнение (4). Распишем подробно:

(5)

Подставим (5) в (4):

(6)

Разделим левую правую части (6) на выражение . В результате получим:

(7)

При знаменатели в (7) обращаются в и (7) теряет смысл. Следовательно, функция должна содержать в качестве сомножителя синус:

(8)

Дифференцируя (8) и подставляя результат в (7), получаем уравнение:

(9)

Для устранения в знаменателе (9) (причину этого смотри выше) полагаем

, откуда следует:

(10)

Т.к. число m может принимать отрицательные значения, то его величина берется по модулю в силу условия .

Тогда (9) принимает вид:

(11)

Далее решение (11) отыскивается в виде ряда

(12)

Дифференцируем (12), результат подставляем в (11) и объединяем слагаемые с одинаковыми степенями косинусов:

(13)

Равенство (13) выполняется, если коэффициенты при всех степенях равны нулю. Приравнивая к нулю эти коэффициенты, получаем:

(14)

 

(15)

Остальные коэффициенты находятся аналогично (15):

(16)

 

Выражение (16) представляет собой рекуррентную формулу, позволяющую вычислить последующий коэффициент через предыдущий . Из (16) следует, что ряд (12) может содержать либо четные степени косинусов , либо нечетные . В общем виде (12) принимает вид:

(17)

Тогда

 

3)

Билет №26

1) Угловое распределение плотности электронного облака в атоме водорода.