Системи диференційних рівнянь

Системою диференційних рівнянь зветься сукупність рівнянь, маючих декілька невідомих функцій та їх похідні, при чому у кожному з рівнянь є хоча б одна похідна. Система лінійна, якщо невідомі функції та їх похідні у кожному рівнянні знаходяться у першій степені. Лінійна система має нормальний вигляд, якщо вона розв’язана відносно усіх похідних.

Приклад. Розв'язати нормальну систему диференційних рівнянь:

Розв'язання. Продиференцюємо перше рівняння по t:

.

Додамо перше і друге рівняння системи:

.

Відкіля . Підставимо його у диференційне рівняння другого порядку розв'язку. Маємо:

 

Це рівняння з постійними коефіцієнтами. Складаємо характеристичне рівняння . Корені . Тоді загальне рішення для х: .

З першого рівняння

 

 

Таким чином загальне рішення системи рівнянь має вигляд:

 

РЯДИ

 

Ряди з додатними членами

Нехай задана нескінченна послідовність чисел . Вираз називається числовим рядом, а - членами ряду. називається частковою сумою ряду (п =1,2,3, …).

Якщо існує границя , то ряд називається збіжним, а S – сумою ряду. Якщо границя не існує, то ряд називається розбіжним.

Необхідна ознака збіжності

Якщо ряд збігається, то . Іншими словами, якщо , то ряд розбігається.

Приклад. Дослідити ряд на збіжність.

Розв'язання. ; , тому ряд розбігається.

З того, що , збіжність ряду не випливає. Наприклад, гармонічний ряд розбігається.

 

Достатні ознаки збіжності

Перша ознака порівняння. Нехай задані два ряди з додатними членами

; .

Якщо існує відмінна від нуля та нескінченності границя , то два ряди збігаються або розбігаються одночасно.

Для порівняння рядів використовують геометричний ряд та узагальнений гармонічний ряд . Ряд збігається при . Ряд збігається при p >1 та розбігається при .

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

Розв'язання. Порівняємо ряд з гармонічним рядом . Нехай ; ;

.

Оскільки ряд розбігається, то ряд також розбігається.

Ознака Даламбера. Якщо для ряду з додатними членами існує границя , то при р<1 ряд збігається, а при р>1 ряд розбігається. Якщо р=1, питання про збіжність ряду залишається невирішеним.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

Розв'язання. Нагадаємо, що п!=1×2×3×…× п.

 

;

.

Оскільки р <1, ряд збігається.

Друга ознака порівняння. Нехай маємо два додатні числові ряди і . Якщо, починаючи з деякого члена, для усіх виконується нерівність , то із збіжності другого ряду випливає збіжність першого ряду, а з розбіжності першого ряду випливає розбіжність другого ряду.

Приклад. Чи збігається ряд ?

Розв'язання. Порівняємо цей ряд із збіжним рядом .

Тут починая з . Отже даний ряд теж збіжний.

Ознака Коші. Якщо у додатному числовому ряді існує , то при ряд збігається, а при - розбігається. Якщо , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

 

Приклад. Чи збігається ряд ?

Розв'язання. Обчислимо . Отже, даний ряд збігається.

Інтегральна ознака. Нехай члени ряду додатні і незростаючи і така неперервна незростаюча функція, що . Тоді справедливі такі ствердження:

а) якщо збігається, то збігається і числовий ряд;

б) якщо розбігається, то розбігається і числовий ряд.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

Розв'язання. Тут .

Розглянемо

Напрямляючи до нескінченності, маємо ,коли . І , коли

Отже, ряд збігається, коли , і розбігається, коли .

Одночасно доведено, що гармонічний ряд розбігається.

Знакозмінні ряди

 

Ряд називається знакозмінним, якщо .

Теорема Лейбніца. Якщо для знакозмінного ряду () виконуються умови:

а) ;

б) , то ряд збігається.

Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Ряд називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд, складений з абсолютних величин, розбігається.

 

Приклад. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряди

та .

Розв'язання. Обидва ряди задовольняють умовам теореми Лейбніца: та монотонно прямують до нуля при , тому обидва ряди збігаються.

Ряд - розбігається, а ряд - збігається, бо обидва ряди – узагальнені гармонічні, для першого ряду , для другого – р =2>1. Тому перший з даних знакозмінних рядів збігається умовно, а другий – абсолютно.

Зауважимо, що з абсолютної збіжності ряду випливає його збіжність.

 

 

Загальні рекомендації студенту-заочнику по опрацюванню курсу «Вища математика»

 

Основною формою навчання студента-заочника є самостійна робота над

навчальним матеріалом, яка полягає у вивченні навчального матеріалу по підручниках, розв’язуванні задач, самоперевірці, виконанні контрольної роботи. Ця робота вимагає не тільки великої наполегливості, але і вміння читати, розуміти прочитане і вміти застосувати на практиці – це суть вміння роботи з навчальними посібниками. Перш за все необхідно ознайомитись із змістом програми. Після цього слід вибрати підручник. Опрацьовуючи матеріал, потрібно переходити до наступного питання лише після правильного розуміння попереднього. Особливу увагу слід приділяти визначенню основних понять. Потрібно детально розглянути приклади, які пояснюють означення, щоб уміти наводити аналогічні приклади самостійно. При вивченні матеріалу по підручнику корисно вести конспект, у який бажано вписувати означення, формулювання теорем, формули, рівняння і т.д. Записи слід вести акуратно, пам’ятаючи про те, що вони зроблені для того, щоб ними можна було надалі скористатись. На полях конспекту доцільно виділяти питання, які потребують консультації викладача.

Потрібно вчитись самоконтролю. Для студента-заочника це важлива форма перевірки правильності розуміння і засвоєння матеріалу.

Розв’язування задач – це найкращий спосіб закріплення матеріалу. При розв’язуванні задач потрібно обґрунтовувати кожен етап, опираючись на теоретичні положення курсу. Якщо задача має декілька способів розв’язування, то слід вибрати найбільш раціональний.

Не варто приступати до розв’язування задачі, якщо до кінця не продумана умова і не знайдений план розв’язування. Знайшовши хід розв’язування, потрібно виконати його. Тоді переконатись в необхідності і правильності кожного кроку, здійснити перевірку знайденого розв’язку і, якщо потрібно, його дослідження.

Якщо задачу розв’язати не вдається, потрібно знайти у навчальній літературі розв’язану задачу, яка є схожою на дану, розглянути уважно готовий розв’язок, намагаючись знайти щось корисне для розв’язування своєї задачі.

Розв’язування задач певного типу слід продовжувати до набуття твердих навиків у їх розв’язанні.

Після опрацювання певної теми курсу і розв’язування необхідного мінімуму задач, можна приступати до виконання контрольної роботи.