Распределение энергии в магнитном поле

Для системы, состоящей из контуров с токами (рис.2.9), энергия магнитного поля равна

где , — соответственно ток и потокосцепление ‑го контура, .

 

 

С точки зрения физических представлений о природе электромагнитного поля уместнее говорить о распределении в пространстве энергии магнитного поля с объемной плотностью ([ ] = Дж/м³), равной

В случае изотропной среды (при совпадению по направлению векторов и ), имеем соотношения

Полная энергия магнитного поля в объеме определится в виде

 

Электромагнитная сила

Под электромагнитной силой понимают силу, действующую на проводники с токами, расположенные в магнитном поле. Такие силы называют также электродинамическими. Электродинамическая сила может быть рассчитана при известной зависимости , где — обобщенная координата (рис.2.9), согласно соотношениям

Как и в случае электрического поля, выбор знака перед производной определяется видом выражения для .

В качестве иллюстрации рассмотрим уединенный контур с током. Учитывая известные соотношения

,

получим выражение для силы, стремящейся деформировать контур

или равноценное

При наличии двух контуров с токами их полные потокосцепления

и

Выражение для энергии магнитного поля двух контуров

с учетом равенства запишется в виде

Тогда сила, стремящаяся изменить взаимное расположение контуров (например, расстояние между ними), определится выражением

В заключение рассмотрим несколько задач, иллюстрирующих изложенный выше теоретический материал.

 

Задача 1. По сплошному цилиндрическому проводу радиуса протекает постоянный ток , который распределяется по сечению с постоянной плотностью (рис.2.10). Определить распределение напряженности магнитного поля как функцию расстояния r от оси провода. Рассчитать внутреннюю индуктивность провода.

 

Решение. Линии напряженности магнитного поля, создаваемого током , представляют собой концентрические окружности, центры которых располагаются на оси проводника. На рисунке 2.10 из всего множества магнитных силовых линий изображены две линии (одна внутри провода, другая снаружи). Напряженность магнитного поля определим на основании закона полного тока . Через произвольную точку внутри провода проведем замкнутый контур интегрирования, совпадающий с магнитной силовой линией радиуса r. При таком выборе контура вектора и совпадают по направлению, и в силу симметрии задачи можем записать

где - часть тока провода, протекающего внутри контура . Величина при постоянной по сечению плотности тока определится как , следовательно

откуда получаем искомую зависимость в виде

Для любой точки вне проводника решение будет отличаться лишь тем, что внутри контура интегрирования протекает весь ток провода . Поэтому при зависимость напряженности магнитного поля от координаты имеет вид

График функции представлен на рисунке 2.11. Индуктивность , обусловленная магнитным потоком внутри провода (так называемая внутренняя индуктивность), определяется через потокосцепление . С целью определения рассмотрим элементарный магнитный поток , проходящий через площадку шириной и длиной (рис.2.10)

где — магнитная проницаемость материала провода.

Так как магнитный поток сцеплен с током , то полное внутреннее потокосцепление оказывается равным

Таким образом, внутренняя индуктивность провода

Данное выражение справедливо только при равномерном распределении тока по сечению проводника, то есть при постоянном токе. Отметим также, что внутренняя индуктивность сплошного цилиндрического провода не зависит от его радиуса. Для проводника длиной один метр, изготовленного из материала с магнитной проницаемостью (медь, алюминий), внутренняя индуктивность = 5 ×10^-8 Гн.

Провод кроме внутренней индуктивности обладает внешней индуктивностью, определяемой магнитным потоком, замыкающимся вне провода. Для расчета величины этого потока необходимо задать геометрические размеры замкнутого контура, по которому протекает ток. В данном случае контур с током замыкается на бесконечности, что соответствует , стремящейся к бесконечности.

 

Задача 2. Кольцевая катушка прямоугольного сечения имеет витков (рис.2.12). Определить индуктивность катушки, если ее внутренний и внешний радиусы равны соответственно и , а высота .

Решение. Задачу решаем в предположении, что витки катушки тесно прилегают друг к другу. В этом случае практически все магнитные силовые линии замыкаются внутри обмотки и, имея вид концентрических окружностей, сцепляются со всеми витками. Поэтому потокосцепление где - магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки.

Магнитный поток сквозь площадку определим как

 

Используя закон полного тока и выбирая контур интегрирования совпадающим с магнитной силовой линией радиуса r и охватывающей полный ток , получаем . Выражение для потока определим интегрированием по сечению в виде

Индуктивность катушки равна:

Задачи для практических занятий и самостоятельной подготовки

1. Постоянный ток = 100 А протекает по сталеалюминиевому цилиндрическому полому проводу (рис.2.13). Характеристики внутреннего проводника (сталь) , = 8 10⁶ См/м, внешнего (алюминий) , = 4 10⁷ См/м. Внутренний радиус провода = 5 мм, радиус поверхности раздела сталь-алюминий = 10 мм, внешний радиус провода =15 мм. Найти зависимости плотности тока , напряженности магнитного поля и магнитной индукции в функции расстояния от оси провода.

Ответ: при

= 1,33 10 ³ Тл, = 1061 А/м, = 2,27 10⁵ А/м.

2. Бесконечно длинный провод с током и прямоугольная рамка расположены в воздухе в одной плоскости (рис.2.14). Число витков рамки , ее линейные размеры и , расстояние от рамки до провода . Определить э.д.с. взаимной индукции в рамке и взаимную индуктивность провода и рамки, если = 20, = 2 м, =1 м, = 2 м, = 5 А, = 314 1/с

 

Ответ: = 3,24 10^-6 Гн,

В.

 

3. Определить взаимную индуктивность рамки с числом витков и двухпроводной линии, если они расположены в одной плоскости. Геометрические размеры системы представлены на рис.2.15.

 

4. На рис.2.16 изображены сечения нескольких проводов с токами. Определить величину интеграла по замкнутому контуру при указанных направлениях токов в проводах и заданном направлении обхода контура интегрирования.