Дифференциальные уравнения пограничного слоя

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ.

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ НАГРЕВ

Сопротивление удобообтекаемых тел при их движении в жидкостях или газах является в значительной степени сопротивлением от трения среды о поверхность тела. Поэтому весьма важно знать законы трения в жидкостях и газах и уметь рассчитывать сопротивление трения. Установлено, что силы трения жидкости проявляются не во всей среде, а лишь в слое, прилегающем к поверхности движущегося тела, где скорость течения резко изменяется по нормали к поверхности.

В отличие от идеальной жидкости, которая при своем движении скользит по обтекаемой поверхности, реальная вязкая жидкость полностью затормаживается на ней. Частицы, прилегающие к поверхности обтекаемого тела, сцепляясь с ней, тормозят вышележащие слои жидкости. Вследствие этого вблизи поверхности скорость жидкости изменяется от на стенке до скорости набегающего потока или скорости потенциального течения на некотором расстоянии от нее. Даже при движении жидкостей, вязкость которых незначительна (вода, воздух), подобное нарастание скорости совершается достаточно быстро. В результате, у поверхности тела, обтекаемого маловязкой жидкостью, есть очень тонкий слой, называемый пограничным слоем. Пограничный слой (рис. 7.1) представляет собой область больших значений градиентов скорости по нормали к поверхности. Внутри пограничного слоя сила вязкостного трения имеет такой же порядок, как и все остальные силы, учитываемые в уравнениях движения.

 

 

Уравнения Навье–Стокса

 

Запишем уравнение движения (3.8) с учетом внутреннего трения в следующем виде:

 

. (7.1)

 

Напомним, что представляют собой касательные напряжения от силы трения, действующие на площадки, перпендикулярные соответствующим осям координат. Каждая из этих составляющих, в свою очередь, может быть представлена в виде суммы трех проекций на оси координат. Таким образом, мы имеем тензор напряжений (3.10), симметричный относительно главной диагонали, т. е. , , .

Составляющие тензора напряжений можно выразить с помощью обобщенного закона Ньютона (3.12):

 

,

 

где имеет вид телеграфного сигнала (или единичной матрицы), принимая значения при или при ; и – координатные направления.

Тогда, например:

 

, .

 

С учетом выражений (3.10) для ,…, расписав каждую из составляющих тензора напряжений, запишем уравнение движения (7.1) в проекциях на оси координат:

 

(7.2)

 

Уравнения (7.2) и есть уравнения Навье–Стокса. В общем случае коэффициент вязкости зависит от температуры. Если считать , то уравнения Навье–Стокса будут иметь вид

 

,

, (7.3)

 

где – оператор Лапласа.

Точное решение задачи обтекания какого-либо тела, сводящееся к интегрированию сложных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях, представляет огромные трудности. Для получения каких-либо частных решений прибегают к упрощению дифференциальных уравнений.

Так Д. Стокс, решая задачу об обтекании шара потоком вязкой жидкости и сделав допущение о малости инерционных членов, отбросил их полностью. Однако такое упрощение справедливо только при очень малых числах Рейнольдса, незначительно отличающихся от единицы. О. Рейнольдс принял модель несжимаемой жидкости, отбросив полностью инерционные члены, а из вязких членов оставил главнейшие. Этот метод применяется при решении гидродинамических задач теории смазки (при малых числах ). Другие авторы вместе с вязкими членами оставили в уравнении только важнейшие из инерционных членов, которые к тому же линеаризируются путем замены неизвестной скорости перед производной ее характерным значением. Однако и этот метод применим при небольших числах и к тому же достаточно сложен.

При изучении обтекания тел при больших числах Рейнольдса, характерных для авиационной и ракетной техники, применяют метод упрощения уравнений Навье–Стокса, основанный на понятии пограничного слоя.

 

 

Толщина пограничного слоя

 

Течение жидкости в пограничном слое может быть ламинарным или турбулентным. При ламинарном течении наблюдается упорядоченное движение жидкости параллельными слоями (слоистое течение) без их перемешивания. Турбулентное течение сопровождается беспорядочным движением частиц (не молекул) жидкости, приводящим к поперечному перемешиванию вязкой среды и к пульсации параметров течения.

Формула Ньютона для силы внутреннего трения при ламинарном течении показывает, что внутри пограничного слоя и в следе за телом, где градиенты скорости значительны, силой внутреннего трения пренебрегать нельзя, и среду, движущуюся внутри этих областей, следует считать вязкой даже при малых значениях коэффициента вязкости.

Во внешнем потоке вне пограничного слоя скорость при удалении от поверхности тела изменяется чрезвычайно медленно. Влияние вязкости здесь пренебрежимо мало, и, следовательно, можно считать, что движение подчиняется законам течения идеальной невязкой жидкости. Изучать движение среды в этой области можно с помощью уравнений Эйлера.

Для исследования движения жидкости в областях с большими градиентами скорости необходимо использовать уравнения Навье–Стокса. Благодаря малой толщине пограничного слоя дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости значительно упрощаются.

При удалении от поверхности тела скорость течения увеличивается и асимптотически приближается к поэтому толщина пограничного слоя величина достаточно условная.

Обычно за толщину пограничного слоя в данной точке поверхности принимают расстояние от тела до такой точки, в которой действительная скорость потока отличается от скорости в потенциальном течении на 1 %:

.

 

Толщина пограничного слоя зависит от положения точки на поверхности тела. На острой передней кромке и растет с удалением от передней кромки.

 

Толщина вытеснения

 

Рассмотрим секундные расходы жидкости через сечение пограничного слоя высотой для потоков невязкого и вязкого газов. Найдем разность между ними:

.

 

Первое слагаемое уравнения представляет собой расход невязкого газа ( – плотность невязкого газа, – скорость его течения), а второе – расход вязкого газа ( – плотность вязкого газа, которая зависит от скорости течения и, следовательно, переменна по толщине пограничного слоя).

Учитывая, что за пределами пограничного слоя отношение скоростей изменяется очень мало (), интеграл в выражении для разности расходов в пределах от 0 до можно заменить на интеграл в пределах от 0 до ¥.

Y

Если предположить, что , то рассматриваемый интеграл можно представить через площадь под кривой профиля скорости . Приведем ее к площади равновеликого прямоугольника (рис. 7.2). Заштрихованные площади на рис. 7.2 равны. Тогда получаем, что уменьшение расхода в пределах пограничного слоя равно , и для несжимаемой среды .

Величина , называемая толщиной вытеснения, – условная толщина некоторого слоя, сквозь сечение которого в единицу времени и при постоянной во всех сечениях скорости протекает количество жидкости, равное уменьшению расхода в пограничном слое.

Толщина вытеснения характеризует уменьшение секундного расхода газа через сечение пограничного слоя вследствие торможения потока в пограничном слое.

Кроме того, толщина вытеснения характеризует искривление линий тока вследствие торможения потока в пограничном слое (рис. 7.3).

Линии тока при обтекании пластинки невязким потоком параллельны поверхности (линия тока 1, рис. 7.3). В вязком потоке линия тока отклоняется от поверхности (линия тока 2, рис. 7.3).

 

 

Рис. 7.3. Геометрический смысл толщины вытеснения

 

Так как перед пластинкой линии тока 1 и 2 совпадают, то через сечение АВ с равномерным распределением скорости и через сечение АС с неравномерным распределением скорости протекает одинаковое количество газа (свойство трубки тока):

 

.

 

Отсюда . В данном случае – смещение линии тока вязкого потока по отношению к линии тока невязкого потока. В сечении, где (а в точке линия тока 2 пересекает границу пограничного слоя), получаем

 

.

Следовательно, толщина вытеснения – это толщина, на которую отодвигаются от тела линии тока в вязком газе по отношению к линиям тока в невязком газе. Вследствие этого даже при обтекании плоской пластинки составляющая скорости , и в пределах толщины пограничного слоя имеет тот же порядок что и .

При решении задач с учетом влияния пограничного слоя на внешний поток можно использовать метод последовательных приближений, суть которого заключается в следующем: сначала считая газ невязким, рассчитывается распределение скоростей и давлений по поверхности тела; затем на основании полученных данных рассчитывается толщина пограничного слоя и толщина вытеснения; производится изменение (утолщение) контура поверхности на и проводится вторичный расчет и и т. д. до достижения требуемой точности.

 

Толщина потери импульса

 

Вследствие торможения потока в пограничном слое происходит не только уменьшение расхода по сравнению с невязким газом, но и уменьшение количества движения, проносимого жидкостью через сечение пограничного слоя, равное .

Толщина потери импульса – условная толщина некоторого слоя, сквозь сечение которого в единицу времени с постоянной скоростью переносится количество движения, равное указанному уменьшению импульса:

.

Отсюда – для сжимаемой жидкости, и – для несжимаемой жидкости.

Из сопоставления выражений для , и следует, что .

 

 

В несжимаемой жидкости

 

Для области тонкого пограничного слоя, в котором собственно и проявляются силы трения, Л. Прандтль предложил особый метод упрощения уравнений движения (7.3), основанный на сравнении порядка величины членов уравнения и отбрасывания членов высшего порядка малости.

Пусть поток движется вдоль твердой прямолинейной границы в направлении оси ОХ (рис. 7.4). Вдоль этой границы образуется пограничный слой, толщина которого . Рассмотрим плоский пограничный слой в установившемся потоке несжимаемой жидкости (, скорость течения не зависит от времени, плотность постоянная). Массовыми силами для газа можно пренебречь (). С учетом принятых допущений запишем уравнения Навье–Стокса следующим образом:

 

, (7.4)

 

, (7.4а)

 

и уравнение неразрывности в виде

 

. (7.4б)

 

Эта система уравнений полностью описывает движение вязкой жидкости в пределах пограничного слоя в рамках настоящей задачи.

Оценим порядок входящих в эти уравнения членов, имея в виду, что , т. е. имеет порядок толщины пограничного слоя ( ~ ) и является малой величиной по сравнению с характерным размером обтекаемой поверхности, например, его длиной . Скорость в пределах пограничного слоя ( ~ ), продольная координата , т. е. ~ .

Тогда приращение скорости имеет порядок величины скорости во внешнем потоке . Установим порядок величины производных, входящих в уравнения (7.4):

 

~ ; ~ ; ~ ; ~ .

С учетом уравнения неразрывности (7.4б) ~ . Поскольку , то ~ ~ , ~ , ~ . Записав порядки величин членов уравнения (7.4), сравним их:

 

.

 

Сравнение показывает, что оба слагаемых левой части уравнения (инерционные члены) имеют один и тот же порядок малости . Вязкие члены (в скобках правой части) имеют разный порядок, причем первое слагаемое существенно меньше второго: отношение первого ко второму равно . Поэтому первым слагаемым можно пренебречь, и уравнение (7.4) запишется в несколько упрощенном виде:

 

. (7.5)

 

Внутри пограничного слоя силы вязкости и силы инерции имеют одинаковый порядок, т. е. их отношение должно быть равным единице. Тогда из уравнения (7.5), записав инерционный и вязкий члены через их порядки, получаем, что их отношение равно и отсюда откуда получается вполне очевидное соотношение: ~ .

Проведя подобный анализ членов второго уравнения (7.4а), приходим к аналогичной выражению (7.5) упрощенной записи:

 

.

 

Инерционные члены этого уравнения имеют порядок и относятся к инерционным членам первого уравнения как (малая величина). Точно в таком же отношении друг к другу находятся и вязкие члены. Следовательно, решая задачу с использованием обоих уравнений, мы приходим к выводу, что наибольший вклад в конечный результат дает уравнение (7.5). Очевидно, что вклад второго уравнения не превышает указанного отношения, т. е. . Поэтому инерционными и вязкими членами второго уравнения можно пренебречь и в задаче исследования течения в пограничном слое вообще не учитывать. Тогда из второго уравнения системы с достаточной точностью можно записать следующее:

 

.

 

То есть, давление внутри пограничного слоя не меняется вдоль нормали к контуру тела и равняется давлению на внешней границе пограничного слоя.

Это один из главных выводов, полученных в результате упрощения исходной системы уравнений.

Таким образом, распределение давления вдоль поверхности тела совпадает с распределением давления на внешней границе пограничного слоя, которое можно найти, решая задачу обтекания данного тела невязким (потенциальным) потоком.

Так как , то и = . В результате упрощений получаем систему уравнений, описывающих движение вязкой жидкости в пределах пограничного слоя:

 

(7.6)

 

Система уравнений (7.6) интегрируется при следующих граничных условиях:

1) при – на внутренней границе пограничного слоя (на стенке) ;

2) при – на внешней границе пограничного слоя скорость течения равна скорости потенциального потока: .

 

 

В сжимаемом газе

 

Для установившегося плоскопараллельного потока сжимаемого газа в уравнениях Навье–Стокса (7.2) произведем оценку порядка величин членов этих уравнений для пограничного слоя несжимаемой жидкости. Тогда первое уравнение системы

 

после анализа порядков величин его членов упрощается и запишется следующим образом:

. (7.7)

 

Вторым уравнением системы (7.2) так же, как и для несжимаемой жидкости, можно пренебречь. Из него также следует, что , т. е. вновь возможна замена на .

Уравнение неразрывности для установившегося движения сжимаемой жидкости (3.1а) для плоского случая запишем как

 

. (7.7а)

 

Так как в уравнении (7.7) коэффициент вязкости является функцией температуры, то к записанным двум уравнения необходимо добавить уравнение энергии. После его преобразования с учетом малости членов получаем

, (7.7б)

 

где – коэффициент теплопроводности .

Таким образом, для установившегося движения сжимаемого газа в пограничном слое необходимо решать систему трех уравнений (7.7). Основные неизвестные в этой системе уравнений – . Так как , то можно считать известным. С помощью уравнения состояния плотность определится как , а коэффициенты вязкости и теплопроводности можно считать известными функциями температуры.

Решение дифференциальных уравнений пограничного слоя, как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости, достаточно сложная процедура даже для простейших тел. В связи с этим используют приближенные методы решения задач пограничного слоя, основанные на рассмотрении интегрального соотношения, являющегося математическим выражением теоремы об изменении количества движения.

В несжимаемой среде

 

Решение задачи об обтекании плоской пластинки в теории сопротивления играет большую роль. Найденная для пластинки зависимость и величина коэффициента сопротивления трения могут быть использованы при приближенных расчетах других удобообтекаемых тел.

Задача расчета пограничного слоя в несжимаемой среде сводится к определению закона изменения толщины пограничного слоя, т. е. , и силы сопротивления трения при условии, что известны скорость , величина коэффициента кинематической вязкости и хорда пластинки .

Для плоской пластинки (рис. 7.6) скорость потенциального течения , градиент давления вдоль пластинки (пластинка – тело с нулевым градиентом давления вдоль ее хорды). С учетом вышеизложенного интегральное соотношение (7.8) приобретает вид

 

. (7.10)

Для решения задачи о пограничном слое введем дополнительно еще два соотношения:

1) закон распределения скорости по толщине пограничного слоя ;

2) уравнение, связывающее касательное напряжение на стенке с толщиной пограничного слоя .

Вид этих соотношений зависит от состояния пограничного слоя.

 

Ламинарный пограничный слой

 

Рассмотрим закон распределения скорости в виде полинома третьей степени (метод Польгаузена)

 

. (7.11)

 

Коэффициенты полинома определим из граничных кинематических и динамических условий:

Кинематические граничные условия:

1) при , ;

2) при , .

Динамические граничные условия:

1) при и из первого уравнения системы (7.6) для пограничного слоя получаем , но и тогда ;

2) при сила трения становится равной нулю, т. е. касательные напряжения обращаются в нуль, и отсюда .

Подставляя указанные граничные условия в уравнения (7.11), получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов :

, , , .

 

В результате ее решения определим значения коэффициентов: . Следовательно, закон распределения скорости по сечению ламинарного пограничного слоя принимает вид

. (7.11а)

Выражение для получим из закона Ньютона для внутреннего трения при ламинарном течении: . Из уравнения (7.11а) производная , отсюда:

 

. (7.12)

 

Вычислим интегралы, входящие в интегральное соотношение:

 

и

 

Подставив эти интегралы в интегральное соотношение (7.10), получим обыкновенное дифференциальное уравнение:

 

.

 

Группируя подобные члены и разделяя переменные, получаем . После интегрирования имеем следующее: . Значение произвольной постоянной определим из условий на передней кромке пластинки: при толщина пограничного слоя , следовательно .

В итоге, после небольших преобразований получаем формулу для расчета толщины пограничного слоя:

 

, или . (7.13)

 

Как следует из уравнения (7.13), толщина ламинарного пограничного слоя нарастает по параболическому закону. Тогда толщина вытеснения и толщина потери импульса для ламинарного пограничного слоя будут следующие: и .

Введем в рассмотрение местный коэффициент трения , представляющий собой отношение касательных напряжений к скоростному напору:

 

. (7.14)

 

Подставив выражение (7.12) в выражение (7.14) с учетом уравнения (7.13), получаем следующее:

 

или . (7.15)

 

Формула (7.15) показывает, что местный коэффициент трения, имея максимум вблизи передней кромки, уменьшается при удалении от нее.

Найдем силу трения, действующую на пластинку, учитывая тот факт, что пограничный слой есть на обеих сторонах пластинки (см. рис. 7.6). Запишем выражения для через коэффициент сопротивления трения:

 

 

и через касательные напряжения (или местный коэффициент трения):

 

.

 

Приравняв правые части этих выражений, получим зависимость для расчета коэффициента сопротивления трения плоской пластинки через местный коэффициент трения:

. (7.16)

 

С учетом формулы (7.15) формула для коэффициента сопротивления трения плоской пластинки при ламинарном пограничном слое принимает вид

 

. (7.17)

 

В уравнении (7.17) в качестве характерного линейного размера в числе Рейнольдса используется хорда пластинки , т. е. .

В сжимаемом газе

 

Рассмотрим некоторые особенности пограничного слоя в сжимаемом газе.

При малых скоростях движения кинетический нагрев газа вследствие его торможения в пограничном слое на поверхности ЛА практически отсутствует, так как температура торможения очень мало отличается от температуры потока. Например, при числе Маха . Поэтому при отсутствии подвода или отвода тепла через поверхность тела температура газа по толщине пограничного слоя может быть принята постоянной и равной температуре среды на внешней границе пограничного слоя или (для плоской пластинки).

Нам уже известно, что по сечению пограничного слоя , т. е. статическое давление постоянно. Тогда при условии постоянства температуры плотность газа по толщине пограничного слоя также постоянна (это следует из уравнения состояния ). Таким образом, при расчете пограничного слоя, образующегося на поверхности тела при малых скоростях движения, можно считать параметры течения в пограничном слое постоянными.

При больших скоростях движения кинетический разогрев газа значительно сильнее, и в пограничном слое происходит существенное повышение температуры. Для теплоизолированного пограничного слоя (тепло не отводится через поверхность тела, не излучается с его поверхности в пространство) температура газа у стенки несколько меньше температуры торможения , так как часть тепловой энергии уносится самими молекулами при их хаотическом движении. Температура газа у теплоизолированной стенки равна температуре восстановления (рис. 7.9).

Формула для расчета температуры восстановления получается из формулы для расчета введением поправочного коэффициента :

 

, (7.21)

 

где – коэффициент восстановления температуры, который характеризует долю кинетической энергии внешнего потока, переходящей в теплосодержание при торможении потока. Коэффициент зависит от числа Прандтля и состояния пограничного слоя.

Число представляет собой отношение количества тепла, выделяемого вследствие трения, к количеству тепла, уносимого молекулами при их непрерывном перемешивании.

Среднее значение числа Прандтля для воздуха равно . В зависимости от состояния пограничного слоя коэффициент восстановления температуры равен – для ламинарного пограничного слоя и – для турбулентного.

Тогда для воздуха () формула (7.21) для расчета температуры восстановления принимает следующий вид:

– для ламинарного пограничного слоя;

– для турбулентного слоя.

Учитывая, что значительное повышение температуры наблюдается только в тонком слое вблизи стенки, вводится понятие о тепловом (температурном) пограничном слое, в пределах которого температура изменяется от температуры газа вблизи стенки до температуры на внешней границе слоя. В общем случае толщина теплового пограничного слоя не совпадает с толщиной динамического (скоростного) пограничного слоя.

Изменение температуры в пограничном слое приводит к изменению плотности газа . При больших числах из-за разогрева газа, плотность его у стенки значительно меньше, чем во внешнем потоке. При нагреве существенно изменяются коэффициенты вязкости и , а также коэффициент теплопроводности .