При разных определяющих уравнениях

Как было установлено выше, определяющее уравнение (математическая формула, математическое выражение для какого-либо закона, зависимости, закономерности и т.д.) позволяет определить размерность производных величин. В этом уравнении коэффициент пропорциональности принимают равным единице или какому-либо другому постоянному числу. Это означает лишение его размерности или, иначе говоря, придают ему нулевую размерность. Таким образом, при любом изменении основных величин коэффициент пропорциональности остается неизменным для одного и того же определяющего уравнения. Если для определения производной величины используется другое определяющее уравнение, то значение коэффициента пропорциональности может измениться. Но и для одного и того же определяющего уравнения коэффициент пропорциональности может изменяться, если меняется содержание (определение) единицы измерения физической величины. Как уже было показано выше, в определяющем уравнении для площади (в формуле площади круга) при переходе от квадратной единицы площади к круглой единице площади коэффициент пропорциональности меняет свое значение с единицы на несколько большее, равное 4/ . Объясняется это тем, что круглый метр меньше квадратного. Но размерность площади остается неизменной: dim = L ².

Возможно изменение определяющего уравнения, при котором коэффициент пропорциональности станет размерным, т.е. зависящим от размерности основных величин. Наиболее наглядно это можно показать для единицы измерения силы как производной величины в системах на основе величин LMT. Из второго закона Ньютона (определяющее уравнение F = kma, где k – инерционная постоянная, равная единице во всех применяемых системах единиц измерения) следует, что размерность силы равна dim F = LMT^{– 2}. При подстановке данной размерности в выражение для закона всемирного тяготения (F = G ) гравитационная постоянная приобретает размерность

dim G = L ³ M^{– 1} T^{– 2}. (1.16)

Отсюда следует, что числовое значение гравитационной постоянной зависит от выбора основных величин. Поэтому, представив ее в качестве производной величины на основании выражения (1.16), можно сказать, что G изменяется пропорционально кубу длины, обратно пропорционально выбранной единице массы и квадрату единицы времени. Если в системе LMT (метр, килограмм, секунда) гравитационная постоянная G равна 6,672 · 10^–11, то при переходе к системе LMT (сантиметр, грамм, секунда) ее величина принимает значение 6,672 · 10^–8.

Если для определения единицы силы использовать закон всемирного тяготения, а гравитационную постоянную принять равной единице или какому-либо другому постоянному числу, то размерность силы станет равной

dim F = L^{– 2} M ².

Инерционная постоянная k в уравнении для второго закона Ньютона, которая принималась равной единице во всех системах физических величин и являлась безразмерной, приобретает размерность

dim k = L ^–3 MT ². (1.17)

Следует иметь в виду, что изменение размерности силы и появление размерной инерционной постоянной с исчезновением гравитационной постоянной вместе приведут к другому математическому выражению законов и определений в области механики и к изменению размерности.

Размерность работы, определяемая как произведение силы на путь и на косинус угла между их направлениями, уже не будет равно

dim A = L ³ MT ^–2,

а примет вид

dim A = dim F d im L = L ^–2 M ² L = L^{– 1} M ².

Эту же размерность работы можно получить, приравняв ее разности энергий на основании формулы

A = k . (1.18)

При подстановке в это выражение (1.18) размерностей массы, скорости и инерционной постоянной (1.17) получается размерность работы:

dim A = L ^–3 MT ² · M · (LT^{– 1})² = L ^–1 M ².

Отсюда следует, что при использовании для разных систем разных определяющих уравнений следует принимать во внимание возможность приравнивания коэффициента пропорциональности k к единице (так бывает чаще всего) или приобретения им размерности.

Из приведенного материала видно, что для построения системы физических величин (единиц измерения) в механике достаточно трех основных единиц измерения. В случае построения производных величин для областей молекулярной физики, электромагнетизма и оптики следует добавить еще по одной основной единице (температурный градус, ампер, кандела соответственно).

Систему единиц физических величин можно построить на базе двух основных величин, т. е. сокращая в системе основных физических величин их число. В этом случае разные по своей сути производные величины могут приобретать одинаковую размерность. Например, это можно сделать для системы механических единиц измерения, объединяя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения в общий закон. В нем гравитационная и инерционная постоянные становятся равными единице, т. е. безразмерными, а в формулах сохраняются лишь размерности длины и времени.

Второй закон Ньютона выражается формулой F = kma, а уравнение для закона всемирного тяготения имеет вид F = G , откуда

kma = G и .

В обобщенном виде

M = .

Размерность ускорения dim a = .

Приравнивая коэффициент пропорциональности к единице, находим размерность для единицы массы в качестве производной величины:

dim m (M) = (L ²)· (LT^{– 2} ) = L ³ T ^{– 2}.

Если это выражение подставить в формулу размерности силы, выведенной как из второго закона Ньютона, так и из закона всемирного тяготения, то получится одинаковая размерность:

dim F = LMT^{– 2} = L ⁴ T ^–4,

dim F = L^{– 2} M ² = L ⁴ T ^–4.

Можно показать возможность увеличения числа основных единиц измерения. В этом случае увеличивается число размерных коэффициентов пропорциональности подобно тому, как уменьшение числа основных единиц ведет к уменьшению размерных коэффициентов пропорциональности. На практике для современного состояния науки и техники самой удобной оказалась Mеждународная система единиц физических величин (Système International d’Unités). Здесь каждая из семи основных единиц измерения является мерой, с помощью которой измеряется та или иная физическая величина. В связи с существованием разных систем основных единиц, можно говорить о совокупности единиц измерения, имеющих одну и ту же размерность. Совокупность групп единиц измерения, различающихся между собой только величиной, но не физической природой, называется классомсистем основных единиц измерения.

Из изложенного видно, что единицы измерения не являются застывшей системой – всякий новый успех в развитии техники измерений, равно как и открытие новых явлений, может вести к пересмотру основных единиц измерения. Неоднократно предлагались другие системы, использование которых оказывалось удобным для определенного круга задач. Так, в астрономии удобно вводить единицу длины, называемую астрономической единицей (а. е.), которая является внесистемной единицей длины и равна среднему расстоянию от Земли до Солнца:

1 а.е. = 1,49597870 · 10⁸ км (± 2 км).

В приведенных ниже примерах дается определение размерностей физических величин и комплексов величин.

Пример 1.5. Определить размерность момента инерции в системе LMT (СИ).

Уравнение для момента инерции имеет вид

J = kmr ²,

где J – момент инерции; k – коэффициент пропорциональности,

m – масса материальной точки; r – расстояние точки от оси вращения (радиус).

Определяем размерность в системе LMT (СИ):

dim J = dim (mr ² ) = dim m ·dim r ² = ML ².

Пример 1. 6. Определить размерность в системе LMT (СИ) кинетической энергии поступательного движения.

Уравнение для кинетической энергии имеет вид

E = k ,

где k – коэффициент пропорциональности; m – масса тела; v – скорость.

Определяем размерность в системе LMT (СИ):

dim E = dim = dim m · dim v ² = M · L ² T ^–2.

Пример 1.7. Определить в системе LMT θ(СИ) размерность газовой постоянной R.

Из формулы Менделеева–Клапейрона определяем газовую постоянную:

R = ,

где R – газовая постоянная; p – давление газов; V – объем газа; M – масса газа; T – абсолютная температура.

Определяем размерность R в системе LMT Θ (СИ):

dim R= dim = = = = .

Пример 1.8. Определить размерность в системе LMT (СИ) величины из уравнения

X = ,

где V – скорость; g – ускорение свободного падения.

Определяем размерность X в системе LMT (СИ):

dim X = = = L.

В данном примере величина Х имеет размерность длины в системе LMT (СИ).

Пример 1.9. Определить размерность величины С в системе LMT (СИ) из равенства

С = ,

где p – давление; ρ – плотность.

Размерность давления определяется из формулы

p = k ,

где k = 1 – коэффициент пропорциональности; F – сила (dim F = LMT^{– 2}); S – площадь (dim L ²).

Размерность плотности определяется из формулы

= k , (dim ρ = L^{– 3} M).

Размерность величины С выразится так:

dim C = dim = = = = LT^–1.

Размерность С представляет собой размерность скорости в системе LMT (СИ).

Пример 1.10. Определить размерность выражения

,

где m – масса; s – площадь; ρ– плотность; g – ускорение свободного падения.

Последовательность определения размерности представленного выражения выглядит так:

dim = = = = T.

Размерность T означает, что данное выражение по своей природе является временем в каком-то технологическом процессе.

Основы анализа размерностей

Размерности используются не только для перевода единиц измерения из одной системы в другую. Их применяют для проверки правильности физических уравнений, установления характера зависимостей между физическими величинами, участие которых в исследуемом процессе предварительно устанавливают.