Сложение двух векторов. Произведение вектора на число. Разложение вектора по базису.

-Рассмотрим правила сложения векторов. Если слагаемые векторы путем их параллельного переноса последовательно пристраивать один за другим так, что начало последующего вектора, совпадает с концом предыдущего, то вектор, замыкающий получившуюся ломаную, является суммой данных слагаемых, причём его начало совпадает с началом первого из слагаемых векторов, а конец – с концом последнего.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной: начало второго вектор совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д., сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).

Сложение векторов с использованием координат. Каждая координата (см. Базис и разложение по базису) суммы векторов есть сумма соответствующей координаты всех (двух или более) суммируемых векторов. Например, для двумерного случая:

 

-Геометрически произведение ненулевого вектора на число k – это вектор, длина которого равна ka, где a = – длина данного вектора, а направление, приa ≠ 0, совпадает с направлением вектора , если k > 0 и противоположно, если k< 0. Если хотя бы один из сомножителей – вектор или число – равен нулю, то и произведение равно нулю.

При умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число.

Операция умножения вектора на число подчиняется законам, аналогичным законам обычного умножения

- Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

, (1)

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства .

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства :

и , где . Тогда и используя закон дистрибутивности, получаем:

.

Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.