Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление криволинейного интеграла ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Теорема. Пусть L - кривая, заданная уравнениями , , , где и непрерывны на вместе со своими производными, а функции и непрерывны вдоль кривой L. Тогда существует криволинейный интеграл J и справедливо равенство = .
Следствие. Если кривая L задана уравнением , , причем функция имеет кусочно-непрерывную производную, а функции и - кусочно- непрерывны вдоль кривой L, то существует криволинейный интеграл J и справедливо равенство = .
Пример 24. Вычислим криволинейный интеграл I = , где кривая L задана уравнением и соединяет точки A (1, 1) и B (-1, 1). Учитывая, что , , и x изменяется от 1 до -1, по формуле для вычисления криволинейного интеграла (см. следствие из теоремы) имеем I = .
Пример 25. Вычислим интеграл I = , где L - окружность . Выпишем параметрические уравнения данной окружности: , , . Вычислим интеграл, используя теорему и учитывая, что , . I = = .
Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Теорема. Если функции , и их частные производные , непрерывны в ограниченной области D с кусочно-гладкой границей L, то справедливо равенство
= .
Это равенство называется формулой Грина.
Напомним, что область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области D.
Теорема. Пусть функции , и их частные производные , непрерывны в односвязной области D. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, расположенного в области D, справедливо равенство =0.
2. Для любых двух точек A и B в области D криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования, расположенного в области D.
3. Выражение является полным дифференциалом, т.е. в области D существует функция , такая, что . При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB, лежащей в области D, имеет место равенство = . 4. В области D выполняется равенство = .
Замечание. Функция из условия 3 может быть найдена по формуле = , где интеграл в правой части берется по произвольной кривой AB, лежащей в области D и соединяющей какую-нибудь фиксированную точку с точкой (c - произвольная постоянная). В качестве кривой AB удобно бывает брать ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат.
Пример 25. Найдем функцию , если . Сначала убедимся, что функция действительно существует, т.е. выполнено равенство = . В нашем примере , , . Функцию будем искать по формуле = ; интеграл в правой части вычислим по кривой L, соединяющей точку с точкой и представляющей собой ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат: . На отрезке , следовательно, ; на отрезке , поэтому . = = .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 139; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.21.248.119 (0.019 с.) |