Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной

Построим систему базисных функций φ‌_k (x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диагональной, что позволит отказаться от использования процедур численного решения системы нормальных уравнений.

В зависимости от распределения погрешности обрабатываемых дан­ных можно построить полиномы дискретной переменной, ортогональ­ные с соответствующими дискретными весовыми функциями p(x _j). Из классических ортогональных полиномов дискретной переменной из­вестны полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье[12].

Рассмотрим алгоритм [13,1] построения полиномов Чебышева t_k(x)дискретной переменной, которые являются важным частным случаем полиномов Хана с единичной весовой функцией. Полином нулевой сте­пени выберем единичным

t ₀ (x) = 1, (3.14)

а полином первой степени возьмем в виде

t ₁ (x) == х - a ₁, (3.15)

где коэффициент a ₁ определим из условий ортогональности

(t ₀ , t ₁) = 0. (3.16)

Запишем условие (3.16) в развернутом виде

п п п

∑ l(x_i – а₁) = ∑ х‌‌ _k - a ∑ l = 0,

i =0 i=0 t=0

откуда получим

п

а₁ = ∑ x_i /(n + l). (3.17)

i =0

Полином второй степени также представим в общем виде с неопре­деленными коэффициентами а₂₁и а₂₀:

t₂(x) = х² + а₂₁х + а₂₀,

которые найдем из двух условий ортогональности:

(t ₀ , t ₂) = 0, (t _1, t ₂) = 0.

Аналогичным способом запишем ортогональный полином степени k:

 

t‍‍‍ _k{x) = х^k + а_k,_k-1х^k-1 +…+ а_k0.

Для полиномов Чебышева дискретной переменной установлена двух- слойная рекуррентная формула [13], по которой можно вычислить по­лином любой степени через начальные полиномы (3.14) и (3.15)

 

t _k+1(x) = (x- a _k+1) t _k(x) – b _k+1 t _k-1(x), (3.18)

где

n n

a _{k+1 =} ∑ x _i t_k ² (x _i) ⁄ ∑ t _k (x _i)

i =0 i =0

n n

b _{k+1 =} ∑ t_k ² (x _i) ⁄ ∑ t_k-1 ² (x _i) (3.19)

i=0 i=0

Аппроксимирующая функция φ(x)определяется, как и ранее (3.3), в виде линейной комбинации базисных функций, в качестве которых теперь выбраны полиномы Чебышева дискретной переменной t _k(x):

m

φ(x) ₌ ∑ c‌_k t_k (x) (3.20)

k=0

Вследствие диагональноcти матрицы Грамма коэффициенты с _k ли­нейной комбинации (3.20) определяются как частные от деления пра­вых частей (3.6) системы нормальных уравнений на диагональные эле­менты этой матрицы:

n n

c _{k =} ∑ ƒ(x _i) t_k (x _i) ⁄ ∑ t_k ² (x _i) (3.21)

i=0 i=0

При увеличении количества базисных функций.в сумме (3.20) не придется пересчитывать коэффициенты с _k, определенные с меньшим значением m.

3.5. Линейный вариант метода наименьших квадратов

На практике довольно часто оказывается возможным при обра­ботке экспериментальных данных ограничиться построением линей­ной аппроксимирующей функции

φ(x) = а + bх. (3.22)

Для многих нелинейных зависимостей с двумя параметрами аи b можно свести нелинейную зависимость к линейной,

φ' (х) = а'(х) + b',

с помощью преобразования х→x' и ƒ→ƒ '[2, 14, 1]. После про­ведения линейной регрессии получим значения a ' и b ', которые после преобразований a' → а и b' → b дают искомые параметры а и bнели­нейной зависимости. Преобразования, сводящие нелинейную зависи­мость к линейной даны в табл.3.1.

 

Таблица 3.1. Преобразования х, у в х', у' и а', b' в a, b

 

№	Функция φ (х)	х'	у'	а	b
	ах + Ь	x	y	а'	b'
	1/(ах + b)	x	1/y	а'	b'
	b + а/х	1/х	y	а'	b'
	х/(ах + b)	x	х/у	а'	b'
	bа^х	x	lg y	10^а′	10 ^b′
	bе^ах	x	In у	а'	e^b′
	b10^ах	x	lg y	а'	10 ^b′
	1/(ае^х + b)	e ^-^х	1/y	а'	b'
	bх^а	lg x	lg y	а'	10 ^b′
	b + a lgx	lg x	y	а'	b'
	b + a In х	In x;	y	а'	b'
	b/(а + х)	x	1/y	b'/а'	1/а'
	bх/(а + х)	1/х	1/y	b'/а'	1/а'
	bе^а'^х	l/x	In x	а'	е^b′
	b10^а/ж	1/х	lgx	а'	10 ^b′
	b + ах^n	x^n	y	а'	b'

 

Для коэффициентов а и b (см. формулу (3.22)) из общего алгоритма МНК получим выражения

(3.23)

где

(3.24)

, — узлы и значения аппроксимируемой функции в них; n — коли­чество узлов.

Погрешность вычисления коэффициентов (3.23) определяется по формулам

 

 

(3.25)

 

где — коэффициент Стьюдента для п измерений и доверительной вероятности £ [15].

Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующей функции ip(x) от исходной определяется по формуле (3.1).