Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной
Построим систему базисных функций φk (x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диагональной, что позволит отказаться от использования процедур численного решения системы нормальных уравнений. В зависимости от распределения погрешности обрабатываемых данных можно построить полиномы дискретной переменной, ортогональные с соответствующими дискретными весовыми функциями p(x j). Из классических ортогональных полиномов дискретной переменной известны полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье[12]. Рассмотрим алгоритм [13,1] построения полиномов Чебышева tk(x)дискретной переменной, которые являются важным частным случаем полиномов Хана с единичной весовой функцией. Полином нулевой степени выберем единичным t 0 (x) = 1, (3.14) а полином первой степени возьмем в виде t 1 (x) == х - a 1, (3.15) где коэффициент a 1 определим из условий ортогональности (t 0 , t 1) = 0. (3.16) Запишем условие (3.16) в развернутом виде п п п ∑ l(xi – а1) = ∑ х k - a ∑ l = 0, i =0 i=0 t=0 откуда получим п а1 = ∑ xi /(n + l). (3.17) i =0 Полином второй степени также представим в общем виде с неопределенными коэффициентами а21и а20: t2(x) = х2 + а21х + а20, которые найдем из двух условий ортогональности: (t 0 , t 2) = 0, (t 1, t 2) = 0. Аналогичным способом запишем ортогональный полином степени k:
t k{x) = хk + аk,k-1хk-1 +…+ аk0. Для полиномов Чебышева дискретной переменной установлена двух- слойная рекуррентная формула [13], по которой можно вычислить полином любой степени через начальные полиномы (3.14) и (3.15)
t k+1(x) = (x- a k+1) t k(x) – b k+1 t k-1(x), (3.18)
n n a k+1 = ∑ x i tk 2 (x i) ⁄ ∑ t k (x i) i =0 i =0 n n b k+1 = ∑ tk 2 (x i) ⁄ ∑ tk-1 2 (x i) (3.19) i=0 i=0 Аппроксимирующая функция φ(x)определяется, как и ранее (3.3), в виде линейной комбинации базисных функций, в качестве которых теперь выбраны полиномы Чебышева дискретной переменной t k(x): m φ(x) = ∑ ck tk (x) (3.20) k=0 Вследствие диагональноcти матрицы Грамма коэффициенты с k линейной комбинации (3.20) определяются как частные от деления правых частей (3.6) системы нормальных уравнений на диагональные элементы этой матрицы: n n c k = ∑ ƒ(x i) tk (x i) ⁄ ∑ tk 2 (x i) (3.21) i=0 i=0 При увеличении количества базисных функций.в сумме (3.20) не придется пересчитывать коэффициенты с k, определенные с меньшим значением m.
3.5. Линейный вариант метода наименьших квадратов На практике довольно часто оказывается возможным при обработке экспериментальных данных ограничиться построением линейной аппроксимирующей функции φ(x) = а + bх. (3.22) Для многих нелинейных зависимостей с двумя параметрами аи b можно свести нелинейную зависимость к линейной, φ' (х) = а'(х) + b', с помощью преобразования х→x' и ƒ→ƒ '[2, 14, 1]. После проведения линейной регрессии получим значения a ' и b ', которые после преобразований a' → а и b' → b дают искомые параметры а и bнелинейной зависимости. Преобразования, сводящие нелинейную зависимость к линейной даны в табл.3.1.
Таблица 3.1. Преобразования х, у в х', у' и а', b' в a, b
Для коэффициентов а и b (см. формулу (3.22)) из общего алгоритма МНК получим выражения (3.23) где (3.24) , — узлы и значения аппроксимируемой функции в них; n — количество узлов. Погрешность вычисления коэффициентов (3.23) определяется по формулам
(3.25)
где — коэффициент Стьюдента для п измерений и доверительной вероятности £ [15]. Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующей функции ip(x) от исходной определяется по формуле (3.1).
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 282; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.240.21 (0.007 с.) |