Тема: Типы дифференциальных уравнений

Тема: Типы дифференциальных уравнений

Уравнение является …

			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным дифференциальным уравнением первого порядка
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
			уравнением Бернулли

 

Решение:
Уравнение можно представить в виде
где функция является однородной относительно x и y функцией нулевого порядка.
Действительно,
Поэтому данное уравнение является однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка.

 

Тема: Поле направлений и изоклины

Уравнения семейства изоклин дифференциального уравнения имеют вид …

 

Решение:
Семейство изоклин дифференциального уравнения описывается уравнением где
В рассматриваемом случае получим Отсюда или где то есть
То есть семейство изоклин описывается уравнением

 

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента
радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

 

Решение:
Угловой коэффициент касательной в произвольной точке равен производной в этой точке, то есть а угловой коэффициент радиус-вектора точки касания определяется отношением Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение
с разделяющимися переменными Разделив переменные, получим Проинтегрируем обе части этого уравнения:
Тогда где Откуда

 

Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделенными переменными,
которое имеет вид …

 

Решение:
Если то и
Тогда уравнение запишется в виде
Преобразовав уравнение и разделив переменные, получим:

 

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …

 

Решение:
Примем за неизвестную функцию Тогда уравнение можно записать в виде или Введем замену Тогда уравнение примет вид или
Пусть Тогда Подставим найденное значение u
в уравнение Получим: , то есть Окончательное решение имеет вид

_______________________________________________________________

 

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Общее решение дифференциального уравнения при имеет вид …

 

Решение:
Для решения дифференциального уравнения необходимо сделать замену Тогда порядок этого уравнения понизится на одну единицу и оно примет вид
Решим это уравнение: и где
Следовательно,

 

Тема: Типы дифференциальных уравнений

Уравнение является …

			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным дифференциальным уравнением первого порядка
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
			уравнением Бернулли

 

Решение:
Уравнение можно представить в виде
где функция является однородной относительно x и y функцией нулевого порядка.
Действительно,
Поэтому данное уравнение является однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка.