Типы линейных уравнений в частных производных второго порядка

Определение. Квазилинейным уравнением в частными производными второго порядка для функций двух переменных будем называть уравнение

. (3)

Здесь , и ‑ непрерывные функции двух переменных и .

Определение. Решением уравнения (3) будем называть дважды непрерывно дифференцируемую функцию , которая при подстановке в уравнение (3) обращает его в верное тождество.

 

Таблица 10 – Типы квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка

Тип		Канонический вид	Физические задачи
гиперболический		,	Волновые процессы
параболический			Распространение тепла, диффузия
эллиптический			Стационарные явления

 

Таблица 11 – Приведение квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду

Уравнение характеристик
Тип		Общие интегралы уравнения характеристик	Замена переменных
гиперболический		,	,
параболический			, или
эллиптический			,

 

Таблица 12 – Виды задач для различных типов уравнений в частных производных

Задача	Тип
Задача Коши	уравнение в частных производных + начальные условия	гиперболический, параболический
Граничная задача	уравнение в частных производных + граничные условия	эллиптический
Смешанная задача	уравнение в частных производных + начальные условия + граничные условия	гиперболический, параболический

 

 

Задачи для гиперболических и параболических уравнений

1. Задача Коши для однородного одномерного гиперболического уравнения в частных производных имеет вид:

УЧП: (, );

НУ: , ().

Она имеет решение .

2. Задача Коши для однородного одномерного параболического уравнения в частных производных имеет вид:

УЧП: (, );

НУ: ().

Она имеет решение .

3. Смешанная задача для однородного одномерного гиперболического уравнения в частных производных и неоднородных начальных условий имеет вид:

УЧП: (, );

НУ: , ();

ГУ: , ().

Ее решение , где , .

4. Смешанная задача для однородного одномерного параболического уравнения в частных производных и неоднородных начальных условий имеет вид:

УЧП: (, );

НУ: ();

ГУ: , ().

Ее решение , где .

5. Смешанная задача для неоднородного одномерного гиперболического уравнения в частных производных и однородных начальных условий имеет вид:

УЧП: (, );

НУ: , ();

ГУ: , ().

Ее решение , где

, .

6. Смешанная задача для неоднородного одномерного параболического уравнения в частных производных и однородных начальных условий имеет вид:

УЧП: (, );

НУ: ();

ГУ: , ().

Ее решение , где

, .