Устойчивость автономных систем (Продолжение)

Пример 1. .

Решение. Матрица коэффициентов системы . Харак-ое уравнение имеет корни .Следовательно, точка покоя (0,0) – неустойчивый узел. Исследуем поведение траекторий системы в окрестности точки (0,0). Перейдем к однородному уравнению: . - интегральные кривые этого уравнения. Откуда следует, что траекториями исходной системы являются лучи на координатных осях, движение по которым идет от начала координат, и семейство ветвей парабол, касающихся начала координат.

 

Пример 2.

Решение. Матрица коэффициентов системы . Решение системы будем искать в виде: и . Для определения получаем систему: (*). Определитель системы . Следовательно, характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому, точка покоя (0,0) – седло.

При , из (*) получаем: . Следовательно,

При , из (*) получаем: . Следовательно,

Таким образом, решение системы имеет вид: (**). Найдем решение в виде первого интеграла. Имеем: .

Положим в (**) . Тогда . То есть траекториями системы являются два луча, выходящие из начала координат с угловым коэф. . При имеем . Т.е. два луча, входящие в начало координат с угловым коэф. являются траекториями системы.

 

6. Уравнения, неразрешенные относительно производной вида . Указать метод решения. Решить уравнения а) , б) .

(1). Если заданное уравнение трудно разрешить относительно , то бывает целесообразным ввести параметр и заменить заданное уравнение двумя уравнениями и , , где функции выбираются так, чтобы при . Так как , то . Откуда получаем: . Если ур-ие (1) легко разрешить относительно , т.е. , то почти всегда удобно в качестве параметра взять . Тогда:

Пример. .

Решение. Положим . Тогда . Из уравнений легко исключить параметр .

 

(2). Если уравнение (2) трудно разрешить относительно , то целесообразно ввести параметр и заменить данное уравнение двумя: , где выбираются так, чтобы при . Тогда , . Если (2) легко разрешить относ-но , то берем . Тогда и .

Пример. .

Решение. Полагаем . Тогда . Интегрируя, получаем: .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) с начальными условиями y(x₀) = y₀ (2)

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1) f(x, y) – непрерывная функция двух переменных в замкнутой области D = {x₀ - a ≤ x ≤ x₀ + a; y₀ – b ≤ b ≤ y₀ + b}, где a и b – положительные числа и . (3)

2) Функция f(x, y) удовлетворяет в области D относительно переменной условию Липшеца. Это означает, что существует такое положительное число N, для любого x из интервала |x – x₀| ≤ a и любых значений y₁, y₂ из интервала |y – y₀| ≤ b, выполняется неравенство |f(x, y₁) – f(x, y₂)| ≤ N|y₁ – y₂|. (4)

Тогда существует единственное решение y = y(x) задачи Коши (1), (2), определенное на интервале x₀ - h ≤ x ≤ x₀ + h, где