Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема Коши-Пикара для ДУ-1-ПРОП. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.
- уравнение (1). - задача Коши (2) Теорема Коши-Пикара: пусть дано (1) и поставлена задача Коши (2). Если в области удовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) условие Липшица , то задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное, непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, , где , . Доказательство: Утверждение 3: при существует , и - непрерывная функция. Доказательство: при имеем функциональный ряд, причем . Если доказать, сходимость к , то будет доказано и утверждение. Оценим: , Предположим, что и докажем, что , т.к. , тогда каждый член ряда по модуля меньше соответствующего элемента числового ряда , он сходится по признаку Даламбера: . Таким образом, сходится равномерно по признаку Вейерштрасса для любого . Каждый член ряда непрерывная функция, следовательно, также непрерывна. Теорема Коши-Пикара для ДУ-1-ПРОП. Доказательство сходимости пикаровских приближений к решению задачи Коши. - уравнение (1). - задача Коши (2) Теорема Коши-Пикара: пусть дано (1) и поставлена задача Коши (2). Если в области удовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) условие Липшица , то задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное, непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, , где , . Доказательство: Утверждение 4: - решение задачи Коши (2) для уравнения (1). Доказательство: . Таким образом, надо доказать, что . Выпишем достаточное условие сходимости: Условие равномерной сходимости : , тогда и оба неравенства выполняются. Теорема Коши-Пикара для ДУ-1-ПРОП. Доказательство единственности решения. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши. - уравнение (1). - задача Коши (2) Теорема Коши-Пикара: пусть дано (1) и поставлена задача Коши (2). Если в области удовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) условие Липшица , то задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное, непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, , где , . Доказательство: Утверждение 5: - единственное решение задачи Коши (2) для уравнения (1) Доказательство: пусть существует , и в подынтервале .
, однако, в то же время это равно: Таким образом , значит, . Т.к. - любое число, положим его и тогда предположение неверно. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши. Последовательность пикаровых приближений равномерно сходится к точному решению. Насколько хорошо -ое приближение аппроксимирует точное решение? , . Методом матиндукции можно показать, что
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 420; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.189.22.136 (0.008 с.) |