Математический анализ – модель непрерывных процессов и cплошных сред: изучение собственных (вычислительных) свойств мысленной модели

Предварительное замечание

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ – МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ И CПЛОШНЫХ СРЕД: ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ) СВОЙСТВ МЫСЛЕННОЙ МОДЕЛИ

Рис. 1. Пример непрерывного процесса и непрерывной функции. Графическое изображение кругового движения точки A: а – начальное положение, б – график вертикального перемещения yA (t), в – траектория движения точки A

yA

A

t

x

y

A

A

A

а

б

в

Рис. 2. Основной метод математического анализа непрерывных функций – выделение малой части и приближенная замена на более простую функцию

a

x

x+dx

b

x

f

f

x

x

x+dx

y=ax+b a = df/dx

f

f*2

f2

f3

.......

f*1

f*3

......

f1

 

 

РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ – ЭТО ОДНО И ТО ЖЕ уравнение.

Но информация из него извлекается по-разному

Более подробная и наглядная форма изображения внутренних сил:

Fx = SX(=0)

Fy = S Y (= 0)

Fz = S Z (= 0)

sy^+

б

x

y

z

sx^+

sz

sx^-

sy^-

tyx^+

tyx^-

tzx^+

t^-zx^-

sz

tzx^++

txy^+

txy^-

txz

txz

tyz

tyz

Рис. 12. Наглядное изображение внутренних сил (напряжений), в линейном приближении, действующих на малую отсеченную часть простой прямоугольной формы. Знаком «+» помечены напряжения на поверхностях, нормали к которым, внешние по отношению к этой части, направлены по осям координат, знаком «–» напряжения на противоположных поверхностях. В суммарную силу F ^dV, действующую на объем dV, входит объемная сила (обычно собственный вес) F^r = g× r × dV и напряжения на поверхностях объема dV. F x ^dV = gx×r×dV + sx^+×dSx^+ - sx^-× dSx^- +tyx^+× dSy^+ - tyx^-× dSy^- +tzx^+× dSz^+ - tzx^-× dSz^-. F y ^dV = gy×r×dV + sy^+×dSy^+ - sy^-× dSy^- +txy^+× dSx^+ - txy^-× dSx^- +tzx^+× dSz^+ - tzx^-× dSz^-. F x ^dV = gx×r×dV + sz^+×dSzx^+ - sz^-× dSz^- +tyx^+× dSy^+ - tyx^-× dSy^- +txz^+× dSx^+ - txz^-× dSx^-.

x

y

z

tzx^-

dy

dz

dx

dSx=dy×dz

dSz=dx×dy

dSy=dx×dz

dV = dx×dy×dz

по отдельности проекции всех сил на каждое координатное направление

Примеры реальных задач – простейшие грубые модели

 

Бетон E = 3.5e10 Па, r = 2400 кг/м^3

Грунт E = 25e7 Па (min)

1. Статика

Рис. 13

Первое грубое приближение

 

 

R (rigidity)

M

sx= 0, sy= 0, sz= Eez

2. Динамика: сейсмические волны

Рис. 14

Первое грубое приближение

Основание (грунт)

Здание

Иллюстрация формирования

Вычислительной модели

0,2 м

18 м

12м

q = 40тс/м= -0.2sy

Рис. 15

Простейший пример для первой тренировки: балка-стенка

Теперь более детально составим уравнения для конкретных примеров.

Есть дополнительные особенности.

Этапы (разделы) моделирования.

1. Геометрия: перемещения и деформации.

2. Физика: деформации и напряжения.

3. Динамика (и статика): силы и движение или равновесие.

0. Условия задачи.

ПЛАН

4.1. Подставить, сформировать 4 уравнения с неизвестными перемещениями (в перемещениях).

Для этого выражения деформаций через перемещения (1) и (2) с. 12, подставляют в физические соотношения (3), с. 15, и получают выражения неизвестных напряжений через неизвестные перемещения.

Затем эти напряжения, выраженные через перемещения, подставляют во все четыре уравнения равновесия (4). Получается 4 уравнения с 4 неизвестными перемещениями узлов 1 и 3.

4.1.1. Этот пункт 4.1 можно упростить – автоматизировать.

Зачем нам подставлять одни громоздкие формулы в другие, если короткая и ясная программа на Бэйсике подсчитает по формулам числовые значения всех 16 коэффициентов и 4 правых частей уравнений равновесия (4), решит полученную систему уравнений и разместит в таблице Excel результаты (значения перемещений u и v в узлах 1 и 3). А затем вычислит деформации (1), (2) и напряжения (3).

Далее эти результаты (коэффициенты и правые части уравнений равновесия – движения) можно использовать для создания простой программы расчета движения

 

4.2. Решить систему уравнений – получить неизвестные (до сих пор) перемещения.

4.3. Найти по ним деформации и напряжения.

4.4. Наглядно изобразить результаты.

4.5. Сделать из этого задачу динамики, просчитать процесс движения всех четырех свободных перемещений, построить графики движения для всех 4 степеней свободы.

 

Начало

‘Определим исходные данные Const L = 12#, H = 8#, q = 200 * 10 * 1000, dx = L, dy = H, dz = 0.2 'Pa Const E = 35000000000#, mu = 0.17 ' Па Dim u(4) As Double, v(4) As Double Dim ex01, ex23, ey02, ey13, gxy, sx01, sx23, sy02, sy13, txy Dim Fx1, Fy1, Fx3, Fy3, A(4, 4), b(4)

4.1.1. Программы на VBA для статики и динамики рассматриваемого примера.

 

 

5. Решение задачи о движении (динамика)

 

 

 

Геометрические уравнения

18 м

12м

Здесь увидим (грубо) изгиб

th = 0,2 м (thickness – толщина)

Плоское изображение для составления геометрических уравнений 2D (деформирование в плоскости). Это задача о плоском напряженном состоянии, напряжения и деформации из плоскости x,y (т.е. в поперечных плоскостях xz и yz) здесь обычно не вычисляют (они малы и неинтересны)

Балка – стенка

18 м

40т/м

12м

Жесткая заделка

Железобетон: E = 3.5e10 Па, m = 0.17

th = 0,2 м (thickness – толщина)

0,2 м

 

 

 

Физические уравнения

 

 

 

6.3. Статические уравнения

12м

Здесь увидим (грубо) изгиб

th = 0,2 м (thickness – толщина)

Плоское изображение для составления статических уравнений 2D (все силы в плоскости). Это задача о плоском напряженном состоянии, напряжения и деформации из плоскости x,y здесь обычно не вычисляют (они малы и неинтересны)

 

 

Варианты.

Группа	L (м)	H (м)	W (м)	q (тс/м)	E (Па)	m	r (кг/м^3)
ДС 10-11			0.2		3.5e10	0.17
ДС 10-12			0.3		3.0e10	0.15
ДС 10-13			0.4		1.5e10	0.12
ДС 10-21			0.5		1.0e10	0.1

РЕЗЕРВ

 

3. Уравнения физические. 1-е приближение: сетка из 2 КЭ

10т/м

20м

2. Дополнительные подробности и уточнения на примере МКЭ 2D.

Градиент температуры g и потоки тепловой энергии p - «Геометрия», «физика»

g

p

2.1. Анализ (и синтез) бесконечно малых: дифференцирование и интегрирование 2D.

Предварительное замечание

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ – МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ И CПЛОШНЫХ СРЕД: ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ) СВОЙСТВ МЫСЛЕННОЙ МОДЕЛИ

Рис. 1. Пример непрерывного процесса и непрерывной функции. Графическое изображение кругового движения точки A: а – начальное положение, б – график вертикального перемещения yA (t), в – траектория движения точки A

yA

A

t

x

y

A

A

A

а

б

в

Рис. 2. Основной метод математического анализа непрерывных функций – выделение малой части и приближенная замена на более простую функцию

a

x

x+dx

b

x

f

f

x

x

x+dx

y=ax+b a = df/dx

f

f*2

f2

f3

.......

f*1

f*3

......

f1