Не содержит явным образом независимую переменную.

Уравнение этого вида допускает понижение порядка на единицу, если положить , где , тогда выражаются по формулам, основанным на правиле дифференцирования сложной функции:

,

,

………………………………………………..

Уравнение второго порядка, разрешенное относительно наивысшей производной, данного вида имеет вид

. (39)

Рассмотрим его решение. Обозначим , тогда . Подставляя в уравнение (39) выражения и получим уравнение первого порядка, относительно функции :

.

Интегрируя это уравнение находим как функцию от у и произвольной постоянной С ₁:

.

Разделяя переменные, находим:

.

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения:

.

 

Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства

Определение. Дифференциальное уравнение п -го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных у ',..., у ^{(п -1)}, у ^(п) т. е. имеет вид

, (43)

где а ₀, a ₁, a ₂, ...,а_п и f (x) — заданные функции от х или постоян­ные, причем для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (43). В дальнейшем мы будем предпола­гать, что функции а ₀, a ₁, a ₂, ...,а_п и f (x) непрерывны на некотором интервале оси х,причем коэффициент а ₀ = 1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция f (x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения. Если , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным.

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка.

Теорема 1. Если у ₁и у ₂— два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

, (44)

то функция

(45)

— линейная комбинация решений у ₁и у ₂также решение этого уравнения.

Доказательство.

Так как у ₁и у ₂— решения уравнения, то

(46)

Подставляя в уравнение (44) сумму и принимая во внимание тождества (46), будем иметь:

т.е. есть решение уравнения.

Определение. Два решения уравнения (44) у ₁и у ₂назы­ваются линейно независимыми на отрезке , если их отноше­ние на этом отрезке не является постоянным, т. е. если

.

В противном случае решения называются линейно зависимыми. Иными словами, два решения у ₁и у ₂называются линейно зависимыми на отрезке , если существует такое постоянное число , что при . В этом случае .

Определение. Если у ₁и у ₂суть функции от х,то определитель

называется определителем Вронского или вронскианом данных
функций.

Теорема 2. Если функции у ₁и у ₂линейно зависимы на отрезке , то определитель Вронского на этом отрезке тожде­ственно равен нулю.

Действительно, если где , то и

.

Теорема 3. Если решения у ₁и у ₂уравнения (44) линейно независимы на отрезке , то определитель Вронского W, составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.

Теорема 4. Если у ₁и у ₂— два линейно независимых на отрезке реше­ния уравнения (44), то функция

(45)

есть его общее решение.

Доказательство.

Из теоремы 1 следует, что функция есть решение уравнения (44) при любых значениях С ₁и С ₂.

Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия , где можно так подобрать значения произвольных постоянных С ₁и С ₂, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.

Так как , то подставляя начальные условия, будем иметь:

(47)

Равенства (47) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными С ₁и С ₂ . Определитель этой системы

есть определитель Вронского при х = х ₀и, следовательно, не ра­вен 0 (в силу линейной независимости решений у ₁и у ₂). С ₁и С ₂ найдем применяя, например, формулы Крамера. Частное решение, которое получится из семейства (45) при найденных зна­чениях С ₁и С ₂ , удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Замечание. Не существует общих методов для нахожде­ния в конечном виде общего решения линейного уравнения с пере­менными коэффициентами. Однако для уравнения с постоянными коэффициентами такой метод существует. Он будет изложен в сле­дующем пункте.