Энергетические характеристики

Пчас , ед. прод.
Р, ед. энерг.	2N	2,3N	2,8N	3,5N	4,8N	6,3N	7,8N	9,3N	11N	13 N
Рпол , ед. энерг.	0,9N	1,3N	2,2N	2,9N	3,5N	4N	4,4N	5,2N	5,9N	6,5N
Рпот , ед. энерг.	1,2N	1N	0,9N	1N	1,1N	1,3N	1,6N	1,9N	2,4N	2,8N

4 Контрольные вопросы

1. Основные показатели энергетической экономичности агрегата.

2. Энергетические характеристики.

3. Расходная характеристика агрегата.

4. Вторичные характеристики показателей энергетической экономичности агрегата.

5. В чем заключается сущность метода выравнивания?

6. Каким методом ищется линейная зависимость по преобразованным исходным данным?

7. Что характеризует показатель R²?

8. Что дает анализ графика эмпирической зависимости?

9. Дайте понятие линии тренда.

10. Производные характеристики энергетической экономичности агрегата.

Практическое занятие №3

Система плановых показателей в энергетическом планировании

 

Цель работы - ознакомиться с основными плановыми показателями в энергетическом планировании; оценить степень тесноты связи между двумя энергетическими параметрами.

Работа выполняется в течение 4-х академических часов.

Теоретическая часть

Система плановых показателей, единиц измерения и порядок их определения имеют важнейшее значение для планирования. Каждый показатель является моделью какого-либо экономического явления. Он должен наиболее полно отражать природу планируемых энергетических процессов, и при этом показатели не должны противоречить друг другу, должны быть взаимосвязаны с количественной и качественной стороны, и составлять как бы единое целое.

Перечень показателей планов, единицы их измерения и точность расчета изменяются в зависимости от того ведется ли расчет плана для энергетической системы в целом, для отдельных электрических станций, предприятия сети или же других подразделений, а также на какой срок составляется такой план (год, месяц, сутки и т.д.).

Показатели, применяемые в планировании делятся на несколько групп.

По экономической природе различают:

1. Стоимостные показатели связаны с учетом в денежной форме затрат общественного труда на производство различных видов энергии.

2. Натуральные показатели выражают свойство потребительской стоимости, это количество, выработанной Гкал, кВт*ч или же потребленного условного топлива.

Общая классификация плановых показателей:

– качественные – являются обобщенными и характеризуют результаты какой-либо хозяйственной деятельности (прибыль, рентабельность, себестоимость ед. продукции, энергоемкость, энергоэффективность) или степень эффективности использования средств производства и рабочего времени (используемые мощности, нормы затрат топлива, электрической энергии, тепла и т.д.);

– количественные - к оличественные показатели выражают численную меру экономического явления, например, количество, произведенное кВтч, ГДж, численность работников, число отремонтированных агрегатов и т.д.

Все виды плановых показателей находятся в неразрывном единстве, поскольку характеризуют разные стороны взаимосвязанных экономических явлений.

Для того, чтобы оценить степень тесноты связи между двумя экономическими явлениями выполняется корреляционный анализ.

Корреляционный анализ исследует взаимосвязь случайных величин на основе экспериментальных данных.

Предположим, что результаты эксперимента описываются двумя случайными величинами и .

Для определения статистической зависимости данные наблюдений записывают в виде корреляционной таблицы 6,

где

; ; .

Здесь m_ij означает, что пара значений (x_i,y_i) наблюдалось m_ij раз, n_i и m_j соответствующие частоты наблюдаемых значений x_i и y_j, i=1,2,…,k; j=1,2,…,k.

 

Таблица 6

Корреляционная таблица

Y X	y1	y2	…	yi	ni
x1	m11	m12	…	m1l	n1
x2	m21	m22	…	m2l	n2
xk	mk1	mk2	…	mkl	nk
mj	m1	m2	…	ml	n

 

В случае, когда случайные величины являются непрерывными (т.е. могут принимать любое значение из соответствующих интервалов), составляется интервальная корреляционная таблица.

Условным средним называют среднее арифметическое значений Y, соответствующих значению X=x. Например,

 

.

Корреляционной зависимостью Y от X называют зависимость:

(8)

Уравнение (8) называют эмпирическим уравнением регрессии Y на X; функцию f(x) называют эмпирической регрессией Y на X, а ее график - линией регрессии Y на X.

Аналогично определяются условная средняя и корреляционная зависимость X от Y:

(9)

Распределение системы (X,Y) характеризуется числовыми параметрами: математическими ожиданиями компонент m_x, m_y; дисперсиями , ; корреляционным моментом (ковариацией) ; коэффициентом корреляции , .

Здесь и дальше, будем считать, что двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально, тогда уравнения линейной регрессии Y на X и X на Y имеют вид:

и

По корреляционной таблице 6, найдем оценки параметров линейной регрессии:

; ; (10)

; (11)

; (12)

; (13)

- выборочный коэффициент корреляции.

Выборочный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между и . Если , то элементы выборки , лежат на прямой линии, а и считаются практически линейно зависимы. Чем ближе к 1, тем связь сильнее; чем ближе к 0, тем связь слабее. Если X и Y независимы, то .

Эмпирическая функция линейной регрессии Y на X и X на Y соответственно задаётся уравнениями

; .

Замечание 1. Если построить на одном корреляционном поле две линии регрессии Y на X и X на Y, то они пересекутся в точке O , и угол между этими прямыми тем меньше, чем ближе коэффициент корреляции к .

Замечание 2. В случае, когда данные наблюдений X и Y записаны в виде интервальной корреляционной таблицы в формулах (10) – (13) вместо x_i и y_i обычно берут середины, соответствующих интервалов.

Для проверки соответствия линейной регрессии результатам наблюдений вычисляется наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента (таблица 7) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n–2, находится . Затем сравнивается наблюдаемое значение критерия с табличным.

 

Таблица 7

T-Распределение Стьюдента.

Число степеней свободы, υ	Уровень значимости,α	Число степеней свободы, υ	Уровень значимости,α
0,1	0,05	0,1	0,05
	6,31	12,7		1,74	2,11
	2,92	4,3		1,73	2,10
	2,35	3,18		1,73	2,09
	2,13	2,78		1,73	2,09
	2,01	2,57		1,72	2,06
	1,94	2,45		1,72	2,07
	1,89	2,36		1,71	2,07
	1,86	2,31		1,71	2,06
	1,83	2,26		1,71	2,06
	1,81	2,23		1,71	2,06
	1,80	2,2		1,71	2,05
	1,78	2,18		1,70	2,05
	1,77	2,16		1,70	2,05
	1,76	2,14		1,70	2,04
	1,75	2,13		1,68	2,02
	1,75	2,12		1,67	2,00
				1,66	1,98

Если , то гипотеза о некоррелированности составляющих X и Y отвергается. Если же , то нет основания отвергать гипотезу о некоррелированности случайных величин X и Y.

Пример решения

Данные наблюдений случайных величин X и Y приведены в корреляционной таблице 8.

Выполнить корреляционный анализ результатов эксперимента, описываемого случайными величинами.

Решение

Построим корреляционное поле (рис.9).

 

Таблица 8

Исходные данные

	42-44	44-46	46-48	48-50	50-52
15-25			-	-	-
25-35				-	-
35-45
45-55	-	-
55-65	-	-	-
						n= 100

Рис.9 – Корреляционное поле

Находим середины интервалов группировки статистических данных и записываем их в таблицу 9.

 

Таблица 9

Вспомогательная таблица

			-	-	-
				-	-
	-	-
	-	-	-
						n= 100

 

Вычислим выборочные средние значения

;

 

;

.

 

Определим корреляционный момент

Коэффициент корреляции будет .

Запишем эмпирические линейные функции регрессии Y на X и X на Y.

; ;

; .

 

Отобразим эти прямые на рис. 10.

Точка пересечения графиков имеет координаты , следовательно, вычисления выполнены правильно.

Проверим соответствие линейной регрессии с результатами наблюдения

Рис.10– Графики линейных функций регрессий

Для уровня значимости α = 0,05 при степени свободы ν = n–2=98 по таблице 7 находим .

Решение при помощи MS Excel представлено на рис. 11.

Рис.11 – Решение при помощи Excel

 

Так как t_набл > t_табл, то линейная модель зависимости между случайными величинами принимается.

3 Индивидуальные задания

В результате проведения испытаний котельного агрегата при различных нагрузках получен ряд наблюдений двух случайных величин: величины потерь тепла в котельном агрегате при различных значениях полезной нагрузки (единиц энергии).

Данные эксперимента в зависимости от номера варианта N приведены в корреляционной таблице 10.

В результате выполнения работы необходимо в среде MS Excel выполнить следующее: построить корреляционное поле, определить средние выборочные значения, определить несмещённые оценки дисперсий, вычислить коэффициент корреляции, найти эмпирические линейные функции регрессии Y на X и X на Y; проверить соответствие линейной регрессии с результатами наблюдения при уровне значимости α=0.05.

 

Таблица 10