Угол между двумя плоскостями

Дано: Р₁ и Р₂ – две плоскости;

- нормальный вектор плоскости Р₁

- нормальный вектор плоскости Р ₂

Две плоскости, пересекаясь, образуют 4 двухгранных угла, равных попарно. Один из них равен углу между нормальными векторами. Обозначая один из этих углов через , имеем:

Выбирая знак «+», получаем , выбирая знак «- «, получаем

 

Условие параллельности 2-х плоскостей

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны:

, следовательно, их координаты пропорциональны:

Условие перпендикулярности 2-х плоскостей

Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы перпендикулярны:

, следовательно,

 

Кривые второго порядка

Алгебраические уравнения второй степени относительно декартовой системы координат вида Ах²+2Вху+Су²+Dх+Еу+F=0 представляют собой кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Эллипс

Опр.: Эллипс - геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до 2 данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная и равна 2 а.

 

y

y M(x,y)

r₂ r₁

F₂(-c,0) 0 x F₁(c,0) x

 

Исследование формы эллипса

т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно осей координат.

.

A₁,A₂,B₁,B₂ – вершины эллипса;

A₁A₂=2a – большая ось эллипса, a - большая полуось;

В₁В₂=2b – малая ось, b – малая полуось;

- фокусное расстояние.

 

Эксцентриситет эллипса и его влияние на форму

Опр.: Эксцентриситет - отношение фокусного расстояния к большой оси .

=

Директриса эллипса и фокальный радиус

Директриса эллипса – это прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и отстающие от центра на расстояние

т.к. <1, то , расстояние между директрисами ;

уравнение директрис

-а а

 

 

Гипербола

Опр.: Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до 2 данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2 a.

у

М(х,у)

r₂ r₁

F₂(-c,0) F₁(c,0) х

 

 

Исследование формы гиперболы

Т.к. х и у входят в уравнение в четных степенях, то график симметричен относительно координатных осей.

A₁, A₂ – вершины гиперболы

2 а – действительная ось гиперболы

а – действительная полуось

2 b – мнимая ось гиперболы

b – мнимая полуось

 

Асимптоты гиперболы

Опр.: Прямая l называется асимптотой кривой с, если расстояние от точек кривой до прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точек по кривой.

Покажем, что прямые являются асимптотами гиперболы.

 

Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы

Опр.: Эксцентриситет гиперболы – отношение фокусного расстояния к действительной оси.

Парабола

Опр. Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки - фокуса и от данной прямой - директрисы.

 

y

N M(x,y)

B() 0 x F()

 

Пусть p - расстояние от фокуса до директрисы, т.е. BF=p, тогда, если ось ординат проходит через середину BF,то т. F имеет координаты (), а т. B().

Обозначим FM=r, a NM=d

Т.к. y входит в уравнение в четной степени, то график функции симметричен относительно OX.

Если х=0, у=0

Если

p >0, ветви вправо

p <0, ветви влево

- уравнение параболы