Метод подстановки (Бернулли)

По этому методу искомое решение уравнения будем искать в виде

,

где и - некоторые непрерывно дифференцируемые функции. Подставляя y = uv и в, получаем

или

.

Выберем функцию таким образом, чтобы

,

после чего от уравнения остается

.

В результате получили систему двух уравнений

Сначала решаем первое уравнение системы, которое является линейным однородным дифференциальным уравнением относительно v и . Покажем, что оно, в то же время, и уравнение с разделяющимися переменными.

Þ

Þ .

Подставляя функцию v во второе уравнение системы, получаем еще одно уравнение с разделяющимися переменными

, откуда

.

Таким образом, , т.е.

.

Так как С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные, то С ₁ С ₂ - тоже произвольная постоянная, которую можно обозначить через С. В итоге получаем, что общим решением неоднородного дифференциального уравнения будет

.

Поскольку при перемножении функций и постоянная С ₁ во втором слагаемом сократилась, то в качестве функции можно было взять .

 

Пример 9.6.1. Решить уравнение .

Решение. Пусть y = uv, . Тогда

.

Составим систему

Решаем первое уравнение Þ Þ Þ Þ (постоянную здесь не берем).

Подставляем во второе уравнение системы Þ Þ Þ .

В итоге находим, что общее решение данного уравнения

, .

 

Метод вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа)

Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения. Разделив в нем переменные, получим

Þ

Þ

,

где С – произвольная постоянная.

По методу вариации (в переводе на русский язык, изменения) произвольной постоянной общее решение неоднородного уравнения ищется в виде

,

в котором – неизвестная дифференцируемая функция.

Найдем

. Подставляя y и в, получаем

,

откуда

.

Итак, функция найдена. Подставляя ее в, находим общее решение уравнения

,

совпадающее с решением.

 

Пример 9.6.2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. В начале решаем соответствующее однородное уравнение Þ Þ Þ Þ .

В соответствии с методом Лагранжа общее решение ищем в виде . Находим . Тогда Þ Þ Þ и , или будет общим решением данного уравнения. Из условия имеем Þ .

Итак, искомым частным решением данного уравнения, удовлетворяющим начальному условию , является функция .

Общее решение уравнения можно сразу найти по формуле, подставив туда и и взяв три интеграла.

Замечание. В приложениях часто встречаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами

,

где a и b – постоянные. Его можно решить путем разделения переменных:

.

 

 

Уравнение Бернулли

Рассмотрим уравнение вида

,

где и - непрерывные функции от х (или постоянные), а n ¹ 0 и n ¹ 1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделив обе части уравнения на , получим

, или .

Сделаем, далее, замену .

Умножим обе части уравнения на .

Þ

,

т.е. получили линейное дифференциальное уравнение относительно z и . Найдя его общий интеграл и подставив , получим общий интеграл уравнения Бернулли.

 

Пример 9.7.1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Предполагая х ¹ 0, разделим обе части дифференциального уравнения на х, тогда является уравнением Бернулли, где . Умножим обе части уравнения на , в результате имеем .

Сделаем подстановку Þ . Умножая обе части последнего дифференциального уравнения на , получим , , а это уже линейное дифференциальное уравнение относительно z и . Найдем его общее решение по формуле, взяв , f (x) = x.

.

Так как , то Þ – искомое общее решение.

Замечание. Дифференциальное уравнение можно сразу решать методом Бернулли или Лагранжа, не сводя его к линейному.

 

Пример 9.7.2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение Бернулли. Решение будет искать в виде Þ . Исходное уравнение принимает вид

Þ .

Выберем функцию v (x) таким образом, чтобы . В результате получаем систему:

Решим первое уравнение системы Þ Þ Þ Þ . Тогда второе уравнение системы принимает вид Þ Þ Þ Þ Þ Þ . Итак, , т.е. будет общим решением исходного уравнения.