Приложения производной к исследованию функций.

Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке a<x<b, если для любых ,принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке u<x<b, если для любых , имеет место неравенство .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной.

Найти производную f '(x).

Найти критические точки функции y=f(x), т.е. точки, в которых f '(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Исследовать знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). При этом критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x) < 0, от промежутка, в котором f '(x) > 0, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенной критической точкой функция экстремума не имеет.

Вычислить значения функции в точках экстремума.

Исследовать на экстремум следующие функции:

ПРИМЕР:

Решение: Находим . Полагая , получим единственную критическую точку ч=2. Дальнейшие рассуждения представлены в таблице:

x	-	5/2	2<x<
f '(x)	-	0	+
f(x)		Максимум	↗

У

		А (2; -4)

 

 

График функции есть

парабола, изображенная на рисунке. Точка минимум (2;-4) является вершиной параболы.

Правила нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной.

Найти производную f '(x).

Найти критические точки данной функции, в которых

f '(x)=0.

Найти вторую производную f ''(x).

Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительный, то – минимум. Если же

вторая производная ровна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

Вычислить значения функции в точках экстремума.

ПРИМЕР:

Исследовать на экстремум с помощью второй производной функции:

.

Решение: 1) Находим производную: . Решая уравнение , получим критическую точку х=1. Найдем

теперь вторую производную: . Так как вторая производная в критической точке положительна, то при х=1 функция имеет минимум: .

2) Находим . Найдем теперь . Определим знак второй производной в критических точках. Так как , то при х=2 функция имеет максимум; так как , то при х=4 функция имеет минимум. Вычислим значения функции в точках экстремума: .