Предельные теоремы в схеме Бернулли

В приложениях часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов в испытаниях Бернулли при больших значениях. При больших значениях и вычисления по формуле (16) становятся затруднительными. Так, если =100 и =50. то для вычисления необходимо найти и. Трудности возникают и в том случае, когда приходится суммировать вероятности, а также при малых значениях или.

В вышеперечисленных случаях мы имеем дело с ситуацией, когда точные выражения оказываются бесполезны для практических расчетов, и возникает необходимость в приближенных формулах. Ниже рассматриваются три предельные теоремы для вероятностей и при.

Теорема Пуассона. Если, а вероятность «успеха», причем, причем, то

.

Из этого предельного равенства следует, что при больших и малых (обычно достаточно) можно воспользоваться приближенной формулой

. (17)

 

 

Пример. Вероятность того, что изделие, сошедшее с конвейера, является бракованным, равна 0,015. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных изделий, не будет бракованных.

◄ По формуле Бернулли будет иметь. Если использовать приближенную формулу (17) при, то получим ►

 

Формулой (17) можно пользоваться не только при малых значениях вероятности, но и тогда, когда мало значение. В последнем случае пуассоновским приближением можно воспользоваться для числа наступления «неудач».

 

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Пусть – число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях

,

 

где, – величина более высокого порядка малости чем (она пренебрежимо мала по сравнению с при).

Таким образом, если число испытаний достаточно велико, а вероятности и не очень близки к нулю, то вероятность можно найти при помощи приближенного равенства

 

, (18)

где – функция плотности нормального стандартизированного распределения (значения этой функции табулированы и приводятся в справочниках по теории вероятностей).

 

Пример. Вероятность изготовления продукции высшего сорта на данном предприятии равна 0,4. Найти приближенно вероятность того, что среди наудачу взятых со склада предприятия 26 изделий половина окажется высшего сорта.

◄ По условию задачи,,,. Используя значения,,,, по формуле (18) находим ►

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть – число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях

.

Приближенная формула

, где

,, (19)

– функция Лапласа или интеграл вероятности

(значения последнего интеграла табулированы и приводятся в справочниках по теории вероятностей), дает хорошее приближение, когда достаточно велико, а и не очень близки к нулю (обычно достаточно выполнение условия >20).

 

Пример. Две симметричные монеты подбрасываются 1000 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что число выпадений двух гербов заключено между 236 и 264.

◄ По условию задачи =1000, (т. к. всего элементарных исходов этого опыта 4, а событию {ГГ} благоприятствует один из них),,. Имеем,,,,. По формуле (19) находим. ►

 

Тема 26 Случайные величины

 

Лекция 26.1 «Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин»

Учебные вопросы:

1. Понятие случайной величины

2. Законы распределения случайных величин

3. Числовые характеристики случайных величин

 

Понятие случайной величины

Случайной величиной называется числовая функция X = X () от элементарных событий. Таким образом, случайная величина определена на множестве элементарных исходов и в зависимости от случая принимает разные числовые значения. Из этого определения случайных величин следует, что на них распространяются все правила действий с обычными функциями: их можно складывать, вычитать, перемножать и т. д.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами.

 

Пример. Пусть множество элементарных исходов состоит из шести равновероятных исходов, = 1, 2,…, 6. Определим на этом множестве следующие случайные величины:

а) Х () = 1, Х () = 2, Х () = 3, Х () = 4, Х () = 5, Х () = 6;

б) Y () = 1, Y () = 0, Y () = 1, Y () = 0, Y () = 1, Y () = 0;

в) Z () = -1, Z () = 1, Z () = -1, Z () = 1, Z () = -1, Z () = 1.

Сумма случайных величин X и Y дает новую случайную величину W, которая определяется из равенства

W () = X () + Y ().

Следовательно,

W () = 2, W () = 2, W () = 4, W () = 4, W () = 6, W () = 6.

Произведение случайных величин Y и Z даст другую новую случайную величину V, определенную равенством

V () = Y () · Z ().

Из этого равенства следует

V () = -1, V () = 0, V () = -1, V () = 0, V () = -1, V () = 0.

 

Пример. В схеме независимых испытаний Бернулли множество состоит из элементарных событий (цепочек) = (,, …,), где = 1, если при - м испытании произошел успех, и = 0 в случае неудачи. Случайная величина X = X () = ++…+ равна числу успехов при испытаниях в схеме Бернулли.

 

Любую константу С можно рассматривать как частный случай случайной величины X = X () ≡ С. Такие случайные величины называются вырожденными. Простейшими случайными величинами, отличными от вырожденных, являются индикаторы. С каждым событием можно связать случайную величину

= () = 1, если А; = () = 0, если А,

называемую индикатором события А. Индикаторы удовлетворяют следующим легко проверяемым свойствам:

= 0, = 1, =, = 1 –.

Если события и несовместны, то

= +.

Пусть < < … < – всевозможные значения случайной величины X. Из определения случайной величины и основных свойств вероятностей можно найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает свои возможные значения, = 1, 2,…,. Обозначим через событие, состоящее из всех тех элементарных исходов, для которых X () принимает значение: = { | X () = }. Тогда вероятность того, что X примет значение, равна {}. В зависимости от значений событие может оказаться невозможным, состоять из одного исхода, из двух и даже из всего множества элементарных исходов.

В вышеприведенном примере для случайной величины нетрудно получить следующие вероятности ее числовых значений:

{ = 0} = 1/2, { = 1} = 1/2,

а для величины W

{ W = 2} = 1/3, { W = 4} = 1/3, { W = 6} = 1/3.