Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Признаки сходимости положительных рядов
Если все члены ряда имеют одинаковые знаки, то ряд называется знакопостоянным. К числу таких рядов относятся ряды, все члены которых только положительные (знакоположительные, или просто положительные ряды), и ряды, все члены которых только отрицательные (знакоотрицательные ряды). Знакоотрицательные ряды можно рассматривать как частный случай положительных, у которых все члены умножены на (–1). Положительный сходящийся ряд при перестановке членов остается сходящимся и сумма его не изменяется. Расходящийся положительный ряд при перестановке членов остается расходящимся. Сравнение положительных рядов. · 1-й признак сравнения. Пусть и – ряды с положительными членами, причем для всех номеров , начиная с некоторого. Тогда: 1) если ряд сходится, то сходится и ряд ; 2) если ряд расходится, то расходится и ряд . · 2-й признак сравнения (предельная форма признака сравнения). Пусть и – ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно. При использовании 1-го или 2-го признака сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд с соответствующим рядом Дирихле. При этом часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей (при ): .
Пример. Исследовать на сходимость ряд . ◄ Применим 1-й признак сравнения. Так как , то , откуда . Ряд расходится, значит, расходится и больший ряд . ►
Пример. Исследовать на сходимость ряд . ◄ Применим 2-й признак сравнения. Так как при числитель дроби в общем члене ряда (это следует из ), а знаменатель (т. к. ) и, следовательно, , сравним заданный ряд с гармоническим . Находим предел отношения = . Так как этот предел конечен и не равен нулю, а ряд расходится, то расходится и исходный ряд. ►
Пример. Исследовать на сходимость ряд . ◄ Так как (при ), то (при ). Ряд сходится (это ряд Дирихле , в котором ), значит, сходится и исходный ряд. ► Признак Даламбера. Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел . Тогда, если , то данный ряд сходится; если же , – расходится. Если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
◄ Применяем признак Даламбера. Найдем предварительно отношение : . Вычисляем предел: . Так как , исходный ряд сходится. ►
Признак Коши. Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел . Тогда, если , то данный ряд сходится; если же , – расходится. Если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Пример. Исследовать на сходимость ряд . ◄ Применяем признак Коши. Найдем предварительно : = . Так как и , получим . Заданный ряд сходится по признаку Коши. ►
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 445; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.42.94 (0.005 с.) |