Возрастание и убывание функций.

Познакомимся на примере с возрастанием и убыванием функции. На рисунке ниже изображен график функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10].

Рассмотрим еще один пример. Очевидно, что функция убывает на промежутке (-∞; 0] и возрастает на промежутке [0;∞). Видно, что график этой функции при изменении от -∞ до 0 сначала опускается до нуля, а затем поднимается до бесконечности.

Определение. Функция возрастает на множестве P, если для любых и из множества P, таких, что выполнено неравенство .

Определение. Функция убывает на множестве P, если для любых и из множества P, таких, что , выполнено неравенство .
Иначе говоря, функция называется возрастающей на множестве P, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей на множестве P, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Экстремум функции.

Введем понятие окрестности точки. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) - это окрестность точки 3.

Посмотрим на график на рисунке ниже.

Наиболее заметными точками области определения являются точки , в которых возрастание сменяется убыванием (точки 3 и 5) или убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками максимума и точками минимума . При построении графиков функций полезно сначала найти точки максимума и минимума. Например, в случае функции синуса точки вида - это точки максимума, а точки вида - это точки минимума. В дальнейшем изложении будет показано, как искать точки максимума и минимума функции, не прибегая к рисованию графиков. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции.

Максимум и минимум функции.

Приведем точные определения точек экстремума. Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции , если для всех из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство .

Это наглядно показано на рисунке:

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции , если для всех из некоторой окрестности выполняется неравенство .

Это наглядно показано на рисунке:

Для точек минимума и максимума функции есть общее определение – точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно называется максимумом или минимумом этой функции. Общее название – экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают , а точки минимума – .

Асимптоты

Если график функции имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты. Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви.

Вертикальная асимптота	Горизонтальная асимптота	Наклонная асимптота

Прямая является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов.

(предел справа) или (предел слева) равен бесконечности.

Прямая является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы или . Прямая является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы либо при , либо при .

Обратные функции

Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению из области определения соответствует единственное значение из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции таким промежутком является, например, луч , для функции – отрезок ).

Функция называется обратной для функции , если каждому из области значений функции функция ставит в соответствие такое из области определения функции , что . Таким образом, если , то .

Функции и являются взаимно обратными.

Область определения функции является областью значений функции , а область значений функции является областью определения функции .

Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой .

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Заменить на , а на .

Пример. Найти формулу для функции, обратной функции: .
Выразить через : .

Заменить на : .
Результат: функция является обратной для функции .

Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел 1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае .

Функция

1.

2.

3.

4. функция нечетная, то есть

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. при ;

9. при .

Функция

1. ;

2.

3.

4. функция ни четная, ни нечетная, то есть

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. при .

Функция

1.

2.

3.

4. функция нечетная, то есть

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. график функции имеет 2 асимптоты:

Функция

1.

2.

3.

4. функция ни четная, ни нечетная, то есть

5. ни при каких ;

6. при ;

7. график функции имеет 2 асимптоты:

 

График функции

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, где , а пробегает всю область определения функции .

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси OY. Например, множество, изображенное на рисунке ниже, не является графиком функции, так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой , но разными ординатами b ₁ и b ₂. Если принять эту линию за график функции, то получилось бы, что одному значению аргумента соответствует сразу два значения функции, что противоречит определению функции.

Графический способ задания зачастую удобнее по сравнению с аналитическим, так как по графику сразу видно, что из себя представляет функция и можно проанализировать ее поведение. Плюс ко всему для любого x₀ из области определения легко найти (с определенной точностью) соответствующее значение y ₀= f (x ₀) функции. Это показано на рисунке ниже.

 

 

Тема 3.2. Степенная, тригонометрическая, показательная и логарифмическая функции. Преобразования графиков

Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций.

Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Показательная функция (экспонента), ее свойства и график.

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Показательные функции:

Определение. Функция, заданная формулой (где ), называется показательной функцией с основанием . Сформулируем основные свойства показательнойфункции:

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – множество всех положительных действительных чисел.

3. При функция возрастает на всей числовой прямой; при функция убывает.

4. Является функцией общего вида.

Рис. 1 График функции , на интервале .

Рис. 2 График функции , на интервале .

Основные свойства показательной функции при :

· Область определения функции - вся числовая прямая.

· Область значений функции – промежуток .

· Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если _, то .

· При значение функции равно 1.

· Если , то и если , то .

Графики показательных функций с основанием и изображены на рисунке.

Основные свойства показательной функции при :

· Область определения функции - вся числовая прямая.

· Область значений функции – промежуток .

· Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если _, то .

· При значение функции равно 1.

· Если , то и если , то .

К общим свойствам показательной функции как при , так и при относятся:

, для всех и ;

для любого и любого ;

для любых ;

для любых ;

, то .

Показатель – четное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где – натуральное число, обладает следующими свойствами:

· область определения – все действительные числа, т. е. множество R;

· множество значений – неотрицательные числа, т. е. больше или равно 0;

· функция четная, так как ;

· функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутка .

График функции имеет такой же вид, как например график функции .

Показатель – нечетное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

· область определения – множество R;

· множество значений – множество R;

· функция нечетная, так как (- x)^2n-1 = x^2n-1;

· функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции .

Показатель , где и – натуральное число.

В этом случае степенная функция обладает следующими свойствами:

· область определения – множество , кроме ;

· множество значений – положительные числа ;

· функция четная, так как ;

· функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке .

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции .

Показатель , где – натуральное число.

В этом случае степенная функция обладает следующими свойствами:

· область определения – множество , кроме ;

· множество значений – множество , кроме ;

· функция нечетная, так как ;

· функция является убывающей на промежутках и .

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции .

 

Логарифмическая функция

Функцию вида , где любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием . Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: – данная запись будет обозначать логарифм по основанию .

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают . Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию .

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции , то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при , и отрицательной при .

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при , и положительной при :

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции – :

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой . Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций. Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции .

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных вещественных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких , при которых . Решаем это неравенство и получаем .

Таким образом, получается, что областью определения функции будет являться промежуток .

 

Преобразования графиков функции.

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс.

Преобразование координат точки с координатами в точку с координатами , полученную из исходной точки при помощи параллельного переноса на вектор (a,0) вдоль оси абсцисс, задается формулами: , согласно этим формулам каждая точка графика с координатами переходит в точку . С помощью переменных можно записать, что график функции переходит в некую фигуру , состоящую из точек , где принимает все значения вида , причем пробегает все значения из .

именно при этих значениях число принадлежит и определено. Следовательно, фигура есть график функции . Сформулируем правило:

График функции получается из графика переносом вдоль оси абсцисс на вектор . Если , то вектор направлен вдоль положительного направления оси абсцисс, а если , то в отрицательном.

В качестве примера, ниже приведен график функции .

Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс.

Такое преобразование задается формулами: .

Произвольная точка графика функции переходит при таком растяжении в точку . Переходя к переменным и запишем, что график функции переходит в фигуру, состоящую из точек , где принимает значения принимает все значения из области определения .

По определению графика функции (см. выше) эта фигура есть график функции .

Правило: для построения графика функции , надо подвергнуть график функции растяжению с коэффициентом вдоль оси абсцисс.

Параллельный перенос вдоль оси ординат.

Обозначим точку, в которую переходит точка с координатами . Так как перенос осуществляется вдоль оси ординат, то координаты новой точки будут связаны с координатами старой точки следующим образом: .

Возьмем произвольную функцию с областью определения . Произвольная точка графика функции переходит в точку . Это означает, что график функции переходит в фигуру, состоящую из всех точек , где принимает все значения и области определения .

Исходя из определения графика функции (см. выше), эта фигура является графиком функции . Подводя черту под вышеизложенной теорией, сформулируем правило:

Для построения графика функции , где – постоянное число, надо перенести график функции на вектор вдоль оси ординат.

В качестве примера ниже приведен график , который был получен из графика функции путем переноса на вектор вдоль оси ординат ОУ.

Растяжение и сжатие вдоль оси ординат.

Рассмотрим растяжение вдоль оси OY с коэффициентом . Координаты новой точки после преобразования будут выглядеть так: .

Для построения точки , в которую переходит данная точка при растяжении, надо построить на прямой (см. рисунок ниже), где – проекция точки на ось , точку, гомотетичную точке относительно центра с коэффициентом гомотетии .

Для примера на рисунке ниже показано построение точек, в которые переходят данные точки с и 2.

Теперь выясним, в какую фигуру переходит график при растяжении. Из приведенных выше формул получаем, что любая точка переходит в точку . Следовательно, график переходит в фигуру, состоящую из всех точек , где пробегает все значения из . Эта фигура, очевидно, является графиком функции .

Резюмируя вышеизложенное, сформулируем правило:

Для построения графика функции надо растянуть график функции в раз вдоль оси ординат.

В качестве примера, ниже приведен график функции .

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс.

Преобразование координат точки с координатами в точку с координатами , полученную из исходной точки при помощи параллельного переноса на вектор (a,0) вдоль оси абсцисс, задается формулами: , согласно этим формулам каждая точка графика с координатами переходит в точку . С помощью переменных можно записать, что график функции переходит в некую фигуру , состоящую из точек , где принимает все значения вида , причем пробегает все значения из .

Именно при этих значениях число принадлежит и определено. Следовательно, фигура есть график функции . Сформулируем правило:

График функции получается из графика переносом вдоль оси абсцисс на вектор . Если , то вектор направлен вдоль положительного направления оси абсцисс, а если , то в отрицательном.

В качестве примера, ниже приведен график функции .

Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс.

Такое преобразование задается формулами: .