Степень с рациональным показателем.

 

Выражение аⁿ определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства:

a^m*aⁿ=a^m+n;

a^m:аⁿ=a^m-n (а≠0);

(а^m)ⁿ = а^mn;

(ab) ⁿ = aⁿ*bⁿ;

(b≠0);

а¹=а; а⁰=1 (а≠0).

2) Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁А₂ …А_n и В₁В₂ … В_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.

Многогранники А₁А₂ …А_n и В₁В₂ … В_n называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Отрезки А₁А₂, В₁В₂, …, А_nВ_n называются боковыми рёбрами призмы.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. S_бок=P_осн*h

Билет 10

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: а^х = а^b, где а> 0, а 1, х - неизвестное.

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.

1. а⁰ = 1, а¹= а.
2. а^m/n= , где m и n– натуральные числа.
3. a^-n = 1/ аⁿ
4. aⁿ × a^m = a^n+m
5. aⁿ/a^m = a^n-m
6. (aⁿ)^m = a^n-m
7. (ab)ⁿ = aⁿ×bⁿ
8. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.

При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = a^x, a > 0, a 1:

1. a^x>0, при всех a>0 и x R;
2. x₁ =x₂.

Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a 1, b > 0.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

3^x – = 24.

Решение:

3^x – 3^{x – 2} = 24
3^{x – 2}(3²– 1) = 24
3^{x – 2} × 8 = 24
3^{x – 2}= 3
x – 2 = 1
x = 3.

Ответ: 3.

2) Если основание пирамиды — правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания, то — пирамида правильная. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды.

Правильная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный многоугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.

Теорема. Площадь боковой поверхности пирамиды S_бок равна произведению n (числа сторон или вершин многоугольника основания) на площадь одной грани.

Билет 11

1) При решении показательныx неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство a ^{f (x)} > a ^{g (x)} равносильно неравенству f (x) > g (x). Аналогично, a ^{f (x)} < a ^{g (x)} Û f (x) < g (x).

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство a ^{f (x)} > a ^{g (x)} равносильно неравенству f (x) < g (x). Аналогично, a ^{f (x)} < a ^{g (x)} Û f (x) > g (x).

A.3. Неравенство [ h (x)] ^{f (x)} > [ h (x)] ^{g (x)} равносильно совокупности систем неравенств

		h (x) > 1,
f (x) > g (x),
	0 < h (x) < 1,
f (x) < g (x).

2) Правильная усеченная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный многоугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.

Теорема. Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих оснований на апофему.

Билет 12

1) Логарифмическая функция у = log_a x (а > 0, a # 1) определена только при х > 0 (у = log_a x <=> х = а^y) и обладает следующими свойствами:

1. монотонности: 0 < x₁ < x₂<=>

2. сохранения знака:у = log_a x > 0 <=>

3. асимптотического стремления к бесконечности: при х —> 0 (x > 0),

Прямая х = 0 называется вертикальной асимптотой графика функции у = log_a x.

2) Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если два ненулевых вектора АВ и СD коллинеарны и если при этом лучи АВ и CD сонаправлены, то векторы АВ и CD называются сонаправленными.

Суммой векторов a(a1; a2; a3) и b(b1; b2; b3) называется вектор c (a1+b1; a2+b2; a3+b3).
Произведение вектора a(a1; a2; a3) на число λ называется вектор λ a = (λa1; λa2; λa3).
Скалярным произведением векторов (a1; a2; a3) и (b1; b2; b3) называется число a1b1 + a2b2 + a3b3

 

Билет 13

1) Теорема. Если функция f возрастает (или уменьшает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определённая в области значений f, так же является возрастающей (соответственно убывающей).

2) Скалярным произведением двух векторов называется произведение их блин на косинус угла между ними.

a{x₁;y₁;z₁}

a*b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

b{ x_2; y_2; z_2}

 

cos a= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂/корень x₁²+y₁²+z₁²*корень x₂²+y₂²+z₂²

Билет 14

1)Логарифм положительного числа по основанию (обозначается ) — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить . b > 0, a > 0, а≠ 1.

,

Пример:

Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как .

, , так как

Натуральный логарифм — логарифм с основанием , обозначается

Свойства логарифма