Практические занятия № 5 - 6.

Тема: «Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов»

Задача 1. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда .

Решение. ; находим

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Задание. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда.

1. . Ответ. Расходится. 2. . Ответ. Расходится.

3. . Ответ. Сходится. 4. . Ответ. Расходится.

5. . Ответ. Сходится. 6. . Ответ. Расходится.

 

Задача 2. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда .

Решение. находим .

Т. к. , то данный ряд по признаку Коши сходится.

 

Задание. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда

1. . Ответ. Сходится. 2. . Ответ. Расходится.

3. . Ответ. Сходится. 4. . Ответ. Сходится.

5. . Ответ. Расходится.

6. При каких значениях с сходится ряд ? Ответ. При .

 

Задача 3. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда

.

Решение. Рассмотрим функцию . Найдем несобственный интеграл

.

Этот несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и данный ряд также расходится.

 

Задание. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда.

1. . Ответ. Сходится. 2. . Ответ. Расходится.

3. . Ответ. Сходится. 4. . Ответ. Сходится.

5. . Ответ. Сходится.

Задача 4. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда .

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда: , и т.к. гармонический ряд расходится, то согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.

Задание. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда

1. . Ответ. Сходится. 2. . Ответ. Сходится.

3. . Ответ. Сходится. 4. . Ответ. Расходится.

5. . Ответ. Расходится.

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

Тема: «Абсолютная и условная сходимость числовых рядов»

 

Задача 1. Исследовать сходимость ряда (определить, является ли он абсолютно сходящимся, условно сходящимся, расходящимся) .

Решение. Для этого знакочередующегося ряда выполнены условия признака Лейбница: 1) 2) .

Следовательно, указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд расходится (гармонический ряд). Значит исходный ряд условно сходящийся.

 

Задание. Исследовать сходимость ряда.

1. . Ответ. Абсолютно сходится.

2. . Ответ. Расходится.

3. . Ответ. Условно сходится.

4. . Ответ. Абсолютно сходится.

5. . Ответ. Абсолютно сходится.

6. . Ответ. Абсолютно сходится.

7. . Ответ. Расходится.

8. . Ответ. Расходится.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8

Тема: «Степенные ряды»

Задача 1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Имеем

.

Следовательно ряд сходится при любом значении .

Задача 2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Имеем

. .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости .

При имеем ряд , который расходится (гармониче­ский ряд). При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотре­зок .

Задача 3. Найти область сходимости cтепенного ряда .

Решение. Имеем

. .

Следовательно, ряд сходится при , т.е. при .

При имеем ряд

,

который сходится по признаку Лейбница.

При имеем ряд

,

который расходится (гармонический ряд).

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полу-отрезок .

 

Задание. Найти область сходимости ряда.

1. . Ответ. (-7, 7). 2. . Ответ. [1, 3].

3. . Ответ. [2, 8). 4. . Ответ. .

5. . Ответ. .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9

Тема: «Разложение функций в степенные ряды»

 

Задача 1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Найдем значения функции и ее производных при .

………………………………..

Получим:

.

Задача 2. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. В разложении

заменим на ; получим:

Задача 3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой

Так как

,

то заменив на , получим:

где , т.е. .

 

Задание. Разложить в ряд Маклорена.

1. . Ответ.

2. . Ответ. .

3. Разложить в ряд по степеням .

Ответ.

4.Разложить в ряд по степеням .

Ответ. .

5. Выписать ряд Маклорена для функции .

Ответ. .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10

Тема: «Некоторые приложения степенных рядов»

 

Задача 1. Вычислить с точностью 0,0001.

Решение. Преобразуем корень

.

Полагаем в разложении функции и умножая его на 3 получим

.

Здесь частичная сумма обеспечивает заданную точность, т.к.

 

Задание.

1. Вычислить с точностью 0,0001. Ответ. .

2. Вычислить с точностью до 0,001. Ответ. .

3. Вычислить с точностью до 0,0001. Ответ. .

Задача 2. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение.

4. Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Ответ.

5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Ответ.