Как решаются дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными?

Каким методом решаются линейные дифференциальные уравнения первого порядка?

 

 

Тема 8. Р я д ы

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 14.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 8.

Методические указания

 

Числовым рядом или просто рядом называется выражение вида

 

.

 

Числа называются членами ряда, член с произвольным номером – общим членом ряда.

Примером бесконечного ряда, например, является гармонический ряд

,

 

n -й член которого .

Если все члены ряда неотрицательны, то такой ряд называется положительным. Также существуют так называемые знакочередующиеся ряды, имеющие вид

 

, >0, (n = 1, 2, 3, …).

 

Ряд вида

,

 

расположенный по возрастающим целым неотрицательным степеням переменной х и имеющий коэффициенты не зависящие от х, называется степенным рядом.

 

Суммы конечного числа членов ряда называются частичными суммами:

 

, , .

 

Ряд называется сходящимся, если при неограниченном возрастании числа членов ряда n, существует конечный предел последовательности его частичных сумм – этот предел называется суммой ряда S.

 

.

 

В противном случае ряд называют расходящимся. Бесконечный расходящейся ряд суммы не имеет.

При исследовании рядов на сходимость используют так называемые признаки сходимости. Для положительных рядов наиболее широко применяют признак Даламбера.

Признак сходимости Даламбера. Если все члены ряда положительны и при неограниченном возрастании номера n члена ряда, существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему равный l, то есть

,

тогда, если:

1. – ряд сходится.

2. – ряд расходится

3. – признак определенного ответа о сходимости или расходимости ряда не дает, требуется дополнительное исследование.

 

Признак сходимости Лейбница обычно используют при исследовании на сходимость знакочередующихся рядов.

Если модули членов знакочередующегося ряда монотонно убывают при возрастании их номера, то есть , и n -й член ряда при неограниченном возрастании n стремится к нулю

 

,

то ряд сходится.

Для любого степенного ряда существует конечное и или бесконечное неотрицательное число R – радиус сходимости ряда – такое, что если , то при , ряд сходится, а при – расходится. При может иметь место как сходимость, так и расходимость степенного ряда. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. В случае, если , степенной ряд сходится лишь в точке х = 0, и интервал сходимости не существует.

 

Рассмотрим несколько примеров исследования рядов на сходимость.

Задача 25. Дан ряд . Написать формулу общего члена ряд и исследовать его на сходимость.

 

Решение. Очевидно, формула общего члена данного ряда будет иметь вид

.

 

Для исследования знакочередующегося ряда на сходимость используем признак Лейбница. Вначале проверим монотонность убывания модуля члена ряда при увеличении его номера

 

.

 

Первое условие признака Лейбница выполняется. Проверим второе условие

.

 

Это условие также выполняется. Следовательно, данный ряд сходится.

 

Задача 26. Написать первые три члена ряда . Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

 

Решение. Для получения трех первых членов ряда берем последовательно n = 1, 2, 3,…, запишем данный ряд в виде:

 

, или

 

..

 

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера:

 

= = =

 

= = =

 

= = = = = .

 

Данный ряд сходится абсолютно при значениях х, которые удовлетворяют неравенству:

 

или , то есть .

 

Теперь исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При , данный ряд принимает вид:

= = .

 

Полученный ряд является знакочередующимся. Члены ряда убывают по абсолютной величине, а также абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при n → ∞. Следовательно, по признаку Лейбница такой ряд сходится и значит, принадлежит области сходимости данного ряда.

При , ряд принимает вид . Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

 

= = = = 0 + 1 = 1.

 

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и соответствующий ряд. Значит, при исследуемый ряд сходится и данное значение х также принадлежит области сходимости ряда.

Таким образом, область сходимости ряда:

 

.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте определение числового ряда.

2. Какой числовой ряд называется сходящимся?