Конденсаторы. Электрическая ёмкость.

 

• Электроёмкость конденсатора или уединенного проводника

;

• Электроёмкость плоского конденсатора

,

где S- площадь пластин, - расстояние между пластинами, - диэлектрическая проницаемость диэлектрика между пластинами конденсатора;

 

• Электроёмкость шарового конденсатора

, R – радиус шара (сферы);

 

• Электроёмкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектрика (слоистый конденсатор)

;

 

• Электроёмкость последовательно соединенных конденсаторов

,

В случае двух конденсаторов

;

• Электроёмкость параллельно соединенных конденсаторов

В случае n одинаковых конденсаторов .

 

• Энергия заряженного конденсатора

.

 

 

Постоянный электрический ток

 

• Сила постоянного тока

, t- время;

• Сопротивление однородного проводника

,

где – площадь поперечного сечения проводника; - длина проводника;

- удельное сопротивление.

• Сопротивление последовательно соединенных n проводников

;

 

• Сопротивление параллельно соединенных n проводников

,

Для двух проводников ;

 

• Закон Ома для участка цепи

, - напряжение на концах проводника;

• Закон Ома для замкнутой цепи (содержащей источник тока)

,

где - электродвижущая сила (эдс) источника, r –внутреннее сопротивление источника тока;

 

• Работа на участке цепи

, t- время;

•Мощность тока

;

• Закон Джоуля –Ленца

,

где Q – количество теплоты, выделившееся в участке цепи за время t.

 

Магнитное поле постоянного тока

• Вектор магнитной индукции

,

где - механический момент контура с током, -магнитный момент контура с током, S- площадь контура, - нормаль к поверхности;

 

• Закон Био-Савара-Лапласа

Модуль вектора

,

где -магнитная постоянная, - магнитная проницаемость среды, - длина элемента проводника, - расстояние от середины элемента проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция, - угол между элементом проводника и r;

 

• Принцип суперпозиции магнитных полей

;

В случае двух полей ;

- угол между ;

 

• Сила Ампера (сила, действующая на проводник с током в магнитном поле)

,

где I – сила тока, В- магнитная индукция, - длина проводника, - угол между и ;

 

• Сила Лоренца (сила, действующая со стороны магнитного поля на заряд, движущийся со скорость )

,

где - угол между и ;

 

• Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея)

, , ,

где - электродвижущая сила индукции, N – число витков контура, Ф – магнитный поток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром, - потокосцепление;

 

• Потокосцепление контура

,

где L – индуктивность контура, - сила тока.

 

•Электродвижущая сила самоиндукции

, ;

 

• Индуктивность соленоида

.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Контрольная работа №1

 

Задача 1. Зависимость пройденного пути S от времени t выражается уравнением , где .Определите для момента времени после начала движения: 1) пройденный путь;

2) скорость; 3) ускорение.

 

Дано: Решение

 

, 1) Для нахождения пройденного пути подставим значение времени t=2c в кинематическое уравнение движения .

2) Находим скорость движения. По определению

t = 2c мгновенная скорость – это производная пути по времени

______________ поэтому дифференцируем исходное уравнение по Найти: S-? V-? a-? времени:

.

3) Находим ускорение движения. По определению мгновенное ускорение – это производная скорости по времени

, поэтому дифференцируем полученное уравнение

для скорости:

.

Проверяем размерность:

,

.

Вычисления

Ответ: S = 46м, V = 56м/с, а = 54м/с .

 

Задача 2. Диск радиусом 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением (). Определить для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение в момент времени ; 2) тангенциальное уравнение в тот же момент времени; 3) угол поворота , при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол .

 

 

Дано: Решение

По определению нормальное ускорение вычисляется

R =0,1м по формуле , а , поэтому найдем w:

А=2 рад , тогда .

Тангенциальное ускорение , - угловое

ускорение: , тогда .

t =2c Так как , следовательно , т.е. ,

откуда , . Подставляем

полученное выражение для в выражение для :

.

Проверка размерности

, .

 

Вычисления

, , .

Ответ: , , .

Задача 3. Автомобиль движется вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью 20 м/с. Определить путь, пройденный автомобилем до остановки и время его движения, если коэффициент трения , а угол наклона .

Дано Решение

 

 

 

_____________

 

S -?, t -?

Автомобиль движется вверх и останавливается, т.е. движение равнозамедленное. Конечная скорость равна нулю . Ось Х направлена вдоль наклонной плоскости вверх, ось У – перпендикулярно наклонной плоскости.

При равнозамедленном движении , , т.к. , следовательно , откуда выразим время t: .

Подставим данное выражение в формулу для пройденного пути, находим .

Вычисляем ускорение , с которым движется автомобиль, используя второй закон Ньютона.

На автомобиль действуют три силы: сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения .

Записываем второй закон Ньютона в векторной форме .

Проецируем это уравнение на оси ОХ и ОУ:

ОХ: ,

ОУ: , откуда , тогда .

Проекция силы тяжести на ось ОХ равна .

Получаем , откуда

Подставляем найденное выражение для ускорения в выражения для определения искомых величин:

, .

Проверяем размерность

. .

Вычисления

 

Ответ:

Задача 4. Вентилятор вращается с частотой об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить момент сил торможения М и момент инерции J вентилятора.

 

Дано Решение

об/мин = По определению работа (1),

= 10 об/с где М – момент тормозящей силы, - угол поворота.

N=50 . Из (1) выражаем М: .

А = 31,4 Дж Для нахождения момента инерции записываем основное

______________ уравнение вращательного движения , откуда

 

М-? J-? (2),

где - угловое ускорение. Найдем , используя то, что вентилятор вращается равнозамедленно.

При равнозамедленном вращении , .

Так как вентилятор останавливается , следовательно . По определению . , откуда находим время вращения вентилятора до полной остановки ,

, подставляя это выражение в (2), получаем .

 

Проверка размерности

Вычисления

 

, .

 

Ответ: , .

 

Задача 5. Платформа в виде диска радиусом вращается по инерции с частотой . На краю платформы стоит человек, масса которого . С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы . Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

 

Дано:

;

;

;

_________________

 

 

Решение.

 

Человек вместе с платформой составляет замкнутую механическую систему, поэтому момент импульса этой системы должен иметь постоянное значение.

Момент импульса системы в первом случае, когда человек стоял на краю платформы

, (1)

где - угловая скорость вращения платформы и человека в первом случае, - момент инерции человека, - момент инерции платформы.

Момент инерции человека можно определить по формуле:

 

.

 

Когда человек перейдет в центр платформы, момент инерции человека станет равным нулю (расстояние до оси вращения ), следовательно, во втором случае момент импульса человека станет равным нулю.

Момент импульса системы во втором случае

,

где - угловая скорость вращения платформы во втором случае.

Запишем закон сохранения импульса:

;

;

;

;

Производим проверку размерности расчетной формулы:

 

.

Вычисление:

.

Ответ: если человек перейдет в центр платформы, платформа будет вращаться с частотой равной .

 

Задача 6. Два точечных заряда 6,7 нКл и (- 13,2)нКл находятся на расстоянии 5 см друг от друга. Найти напряженность электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 3см от положительного заряда и 4см от отрицательного.

Дано: Решение

Электрическое поле создается двумя зарядами, поэтому

напряженность в данной точке поля находим по принципу суперпозиции для напряженности.

(1).

r₂ = 0,04 м

_____________

_ Е -?

Поскольку заряды и точечные, то, по определению, их напряженности вычисляются по формулам , (2).

Из условия задачи следует, что угол между векторами и прямой. Тогда результирующую напряженность можно найти по теореме Пифагора

(3). Подставляем формулы (2) в (3)

.

Проверка размерности .

Вычисления

 

 

Ответ: Е = 101 кВ/м.

 

Задача 7. Циклотрон предназначен для ускорения протонов до энергии

5 МэВ. Определить наибольший радиус орбиты, по которой движется протон, если индукция магнитного поля В = 1 Тл.

 

Дано: Решение

 

Протон движется в циклотроне по спиральной

орбите, состоящей из полуокружностей с

В = 1 Тл постепенно увеличивающимся радиусом.

В магнитном поле на него действует сила Лоренца

___________________ ,

R -? так как движение происходит

перпендикулярно вектору магнитной индукции , то

угол , , тогда . Протон движется по окружности с ускорением . Второй закон Ньютона в скалярной форме запишется , откуда .

По определению кинетическая энергия , тогда искомый радиус окружности

Проверка размерности

 

Вычисления

 

.

Ответ: .

 

 

ЗАДАЧИ

 

100. Два тела начали одновременно двигаться равноускоренно: одно с начальной скоростью 5м/с и ускорением 1,5м/с , другое без начальной скорости с ускорением 2,5м/с . Построить графики их движений и по графикам определить, через сколько времени оба тела будут иметь одинаковую скорость и какой путь пройдет каждое тело за это время.

 

101. Маховик, вращающийся с частотой 120 об/мин, останавливается в течение 1,5 мин. Определить сколько оборотов сделает маховик до полной остановки и с каким угловым ускорением он останавливается.

 

102. Движение материальной точки задано уравнением , где м/с, м/с . Определить момент времени, в который скорость материальной точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

 

103. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s = Сt³ , где С= 0,1 см/с³. Найти нормальное a_n и тангенциальное а_т ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки V = 0,3 м/с.

 

104. Период вращения одного колеса вдвое меньше периода другого колеса, а его радиус втрое больше радиуса другого колеса. Сравнить нормальные ускорения для точек обода обоих колёс.

105. Радиус вектор материальной точки изменяется со временем по закону

. Определите: 1) скорость , 2) ускорение , 3) модуль скорости в момент времени .

 

106. Мяч падает на плоскую поверхность с высоты 20м и вновь подпрыгивает на высоту 5м. Чему равна скорость мяча в момент падения на площадку? Сколько времени проходит от начала падения до момента достижения им точки наивысшего подъёма? Какова скорость мяча в момент отрыва его от площадки?

 

107. Поезд отошёл от станции с ускорением 20 см/с . Достигнув скорости 36 км/час, он стал двигаться равномерно в течение 2 мин, а затем, затормозив, прошёл до остановки 100 м. Найти среднюю скорость поезда. Построить график зависимости скорости от времени.

 

108. Мяч брошен вертикально вверх с балкона, находящегося на высоте 25м над Землей, со скоростью 20 м/с. Найти скорость мяча в момент его приземления.

 

109. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением

м/с . Определить полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизны м, если точка движется на этом участке со скоростью м/с.

 

110. Груз массой 50 кг с помощью каната поднимают вертикально вверх на высоту 10 м в течение 2с. Считая движение груза равноускоренным, определите силу упругости каната во время подъёма.

 

111. Средняя высота движения спутника над поверхностью Земли равна 1700км. Определите скорость обращения спутника вокруг Земли. (Считать радиус Земли равным 6400км).

 

112. Тонкий однородный стержень длиной см и массой 400г вращается с угловым ускорением рад/с около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М.

 

113. Два груза массой 200 г и 300г подвешены к нерастяжимой невесомой нити, переброшенной через неподвижный блок. С каким ускорением движется система грузов? Чему равна сила упругости нити, соединяющей грузы?

 

114. Вал массой 100 кг и радиусом 5 см вращался с частотой = 8с . К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой

F= 40 Н, под действием которой вал остановился через 10 с. Определить коэффициент трения .

 

115. Поезд массой 500т, двигавшийся по горизонтальному участку пути со скоростью 13м/с остановился под действием постоянной силы трения равной 100кН. Сколько времени потребовалось для торможения?

 

116. Платформа в виде диска радиусом 1м вращается по инерции с частотой

= 6 мин . На краю платформы стоит человек массой 80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в её центр? Момент инерции платформы кг·м . Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

 

117. Найти силу тяги, которую развивает мотор автомобиля, движущегося в гору с постоянным ускорением 1 м/с . Масса автомобиля равна кг. Уклон прямолинейной трассы составляет 1 м на 25 м пути. Коэффициент сопротивления 0,1.

 

118. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны меньше массы Земли в 81 раз. В какой точке прямой, соединяющей их центры, тело будет притягиваться с одинаковой силой?

 

119. Маховик в виде диска массой 50 кг и радиусом 20 см был раскручен до частоты вращения =480 мин и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, ели маховик до полной остановки сделал 120 оборотов.

 

120. Поезд массой 500 т поднимается со скоростью 36 км/ч по уклону 1 м на 10 м пути. Коэффициент трения 0,002. Определить мощность, развиваемую локомотивом поезда.

 

121. Два шара массами 6 кг и 4 кг движутся вдоль одной прямой со скоростями 8м/с и 3 м/с. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого удара, если: 1) первый шар догоняет второй, 2) шары движутся навстречу друг другу.

 

122. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36 км/ч направлении противоположном движению снаряда?

 

123. Спутник массой 12 т вращается по круговой орбите вокруг Земли, обладая кинетической энергией 324 ГДж. С какой скоростью и на какой высоте движется спутник?

 

124. Пуля массой 10 г, летящая со скоростью 800 м/с, пробила доску толщиной 8 см. После этого скорость пули уменьшилась до 400 м/с. Найти среднюю силу сопротивления, с которой доска действовала на пулю.

 

125. Тело массой 0,5 кг брошено вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Чему равна работа силы тяжести: а) при подъёме на максимальную высоту, 2) при его падении до первоначального уровня?

 

126. При подвешивании груза массой 15 кг пружина динамометра растянулась до максимального деления шкалы. Жесткость пружины

10000 Н/м. Какая работа была совершена при растяжении пружины?

 

127. Баба копра массой 500 кг падает на сваю массой 120 кг со скоростью 4 м/с. Определить КПД удара бабы копра о сваю. Удар неупругий.

 

128. С какой скоростью вылетит из пружинного пистолета шарик массой

10 г, если пружина была сжата на см. Жесткость пружины 200 Н/м?

 

129. Определите массу однородного сплошного диска, насаженного на ось, к ободу которого приложена постоянная касательная сила , если через

5 с после начала действия силы его кинетическая энергия составляла 2,5 кДж.

 

130. Даны два шарика массой 1 г каждый. Какой заряд нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного отталкивания зарядов на шариках уравновесила гравитационную силу взаимного притяжения шариков? Шарики находятся в вакууме.

 

131. В две вершины равностороннего треугольника со стороной а = 0,1 м помещены точечные заряды +10 Кл и - 10 Кл. Определите значение напряжённости поля в третьей вершине.

 

132. Два одинаковых металлических шарика имеющих заряды Кл и

Кл, приведены в соприкосновение и разведены на прежнее расстояние. Определить отношение модулей сил взаимодействия шариков до и после соприкосновения.

 

133. Шар радиусом 2,5 м зарядили до потенциала 80 В. Найти потенциал поля в точке, отстоящей от поверхности шара на расстоянии 1,5 м.

 

134. Расстояние между двумя точечными зарядами нКл и нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряжённость, если второй заряд будет положительным?

 

135. Два шарика с зарядами 8·10 Кл и 5·10 Кл находятся на расстоянии 0,4 м друг от друга. До какого расстояния их можно сблизить, если совершить работу -2,7·10 Дж?

 

136. Определить напряженность электрического поля в точке, удалённой на расстояние 0,10 м от точечного заряда, если в точке, удалённой от него на 0,05 м напряженность равна 40 В/м.

 

137. Свинцовый шарик диаметром 0,5 см помещён в глицерин. Определить заряд шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его напряжённость Е = 4 кВ/м. Плотность свинца г/см , плотность глицерина г/см .

 

138. Конденсатор ёмкостью 0,02 мкФ соединили с источником тока, в результате чего он приобрёл заряд 10 Кл. определите значение напряжённости поля между пластинами конденсатора, если расстояние между ними 5 мм.

 

139. Двигаясь между двумя точками в электрическом поле, электрон приобрёл скорость равную 2·10 м/с. Чему равно напряжение (разность потенциалов) между этими точками?

140. Два проводника сопротивлением 100 Ом и 200 Ом соединены параллельно и включены в сеть напряжением 220В. Чему равна сила тока в каждом проводнике и подводящих проводах?

 

141. Лампа сопротивлением 240 Ом и реостат сопротивлением 200 Ом соединены последовательно и включены в сеть напряжением 220 В. Определите силу тока. Начертите схему цепи. Куда нужно передвинуть ползун реостата, чтобы сила тока в цепи увеличилась?

 

142. Электрическая плитка и лампа накаливания соединены последовательно и включены в сеть напряжением 220 В. Сопротивление плитки 40 Ом, лампы – 400 Ом. Начертите схему и определите силу тока в цепи.

 

143. В цепь напряжением 100 В включена спираль. Когда последовательно с ней включили реостат, то сила тока в цепи уменьшилась от 5 до 2 А. Начертите схему цепи и определите сопротивление реостата.

 

144. Цепь состоит из источника тока, ЭДС которого =7,5 В, а внутреннее сопротивление =0,3 Ом, и двух параллельно соединенных проводников сопротивлениями =3 Ом и =2 Ом. Начертите схему цепи и определите силу тока во втором проводнике.

 

145. Проводник длиной 50 см и площадью поперечного сечения 0,2 мм изготовлен из материала с удельным сопротивлением 1,2 Ом·м и подключен к источнику тока, ЭДС которого 4,5 В и внутреннее сопротивление 3 Ом. Найти напряжение на концах проводника и значение напряжённости электрического поля в нём.

 

146. Цепь состоит из источника тока с ЭДС равной 4,5 В и внутренним сопротивлением 1,5 Ом и проводников сопротивлением =4,5 Ом и =3 Ом. Определить напряжение на проводнике . Чему равна работа, совершаемая током в проводнике за 20 мин?

 

147. Во сколько раз необходимо изменить диаметр сечения подводящих проводников, чтобы потери мощности в них сократились в 2 раза?

 

148. Разность потенциалов на зажимах разомкнутого источника тока 24 В. При включении внешней цепи разность потенциалов на зажимах источника тока стала равной 22 В, а сила тока 4 А. Определите внутреннее сопротивление источника тока.

 

149. Какое защитное сопротивление надо включить последовательно с лампой, рассчитанной на напряжение 110 В и силу тока 2 А, если её включить в сеть с напряжением 220 В?